巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

设${\displaystyle V}$是数域${\displaystyle k}$上的一个分次(graded)线性空间。${\displaystyle V}$上的一个BV代数结构是三元组${\displaystyle (V,\bullet <!--\; \bullet \; -->,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}$，满足以下两个关系：

在上面的定义中，如果令

则可以验证，${\displaystyle (V,\bullet <!--\; \bullet \; -->,)}$形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$还是关于${\displaystyle }$的导子(derivation)，即

使得${\displaystyle (V,,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}$形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素${\displaystyle S}$，该元素满足以下方程：

称为Master方程，有时候${\displaystyle S}$必须满足所谓的量子Master方程，即

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。