拓扑熵

✍ dations ◷ 2025-08-18 11:05:09 #熵和资讯,遍历理论

在数学里,拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数,可以用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先是于1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁所提出来的。其定义是由测度熵中导出来的。之后,汀那伯格和洛福斯·鲍恩另给出了一个不同但等价的定义,将其延伸至豪斯多夫维。第二个定义厘清了拓扑熵的意义:对一个由迭代函数给出的系统,拓扑熵表示迭代不同轨道数的指数成长率。变分原理此一重要原理将拓扑及测度熵两种概念相关连了起来。

拓扑动力系统包括一个豪斯多夫空间 (通常假定为紧致的)和一个连续自映射 。其拓扑熵是一个非负实数,可以等价地以许多方式被定义。

令 是一紧致豪斯多夫空间。对任一 的有限覆盖 ,令 () 为覆盖 的 的最小元素数量的对数(通常底数为 2 )。对两个覆盖 和 ,令

为其(最小)公精致,包含所有 中的元素和 中的元素的非零交集。而多个覆盖的公精致也是类似的定义。对任一连续函数 :  →  ,下面的极限存在:

则 的拓扑熵,标记为 () 即定义为在所可能的有限覆盖 上的 (,) 的最小上界。

的各部分可能可以被视为是(部分地)描述了 上的点 的位置的符号:所有点 ∈ 都被配上符号 。想像 的位置被一特定仪器(不完美地)量测,且 的每个部分都会对应于量测的每个可能输出。然后,整数 H ( C f 1 C f n + 1 C ) {\displaystyle H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)} 的点所需长度 的“词”的最小数量,依据其头 n-1 次迭代的行为,或另个角度来说,是由划分 中“看到”迭代行为“方案”的总数。因此,拓扑熵即为描述映射 长迭代所需讯息的平均值。

此定义使用了在 (实际上,一致空间即足够)上的度量。令 (,) 为一紧致度量空间且 :  →  为一连续函数。对每一个自然数 ,一新度量被定义为

给定任一 > 0 及 ≥ 1 , 的两点被称为对此度量是 -接近的,若其头 次迭代是 -接近的。此一度量允许将一个轨道的邻域区分成在迭代中相互远离的点以及一起移动的点两种。 的子集 被称之为是 (, )-分离的,若每一对在 中的相异点都不是 -接近的。令 (, ) 为一 (, )-分离集合的最大势。映射 的拓扑熵即被定义为

因为 是紧致的, (, ) 会是有限的,且表示长度 相异轨道区段的数量,假定我们无法区分 -接近的两点。一简单的论证显示定义 () 的极限总是存在于扩展的实数轴中(但可能是无限大)。此一极限可以被解释成对相异轨道区段数量的平均指数成长率的量测。在这意义之下,拓扑熵可以用来量测拓扑动力系统 (,) 的复杂性。洛福斯·鲍恩更将拓扑熵的此定义扩展成允许 是非紧致的样式。


本条目含有来自PlanetMath《Topological Entropy》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。

相关

  • 汤飞凡汤飞凡(1897年7月23日-1958年9月30日),幼名瑞昭,湖南醴陵人,微生物学家,砂眼衣原体首次分离者。为第一个投身病毒学研究的华人。曾任中华医学会理事、中国国家菌种保藏委员会主任委
  • 高空急流高速气流,或称喷射气流、高空急流、极锋喷流(英语:Jet Stream),是行星尺度的大气环流。在地球上,指数条围绕地球的强而窄的高速气流带,集中在对流层顶,在中高纬西风带内或在低纬度地
  • 圣沙蒙圣沙蒙(法语:Saint-Chamond)是法国卢瓦尔省的一个市镇,位于该省南部,属于圣艾蒂安区。该市镇总面积54.88平方公里,2009年时的人口为35891人。圣沙蒙是圣艾蒂安城市圈的一部分,位于
  • 沃尔夫冈·霍夫曼沃尔夫冈·霍夫曼(德语:Wolfgang Hofmann,1941年3月30日-2020年3月12日),德国柔道运动员。1964年代表德国联合队获得东京奥运会男子柔道中量级银牌。他是第一个在奥运会上获得奖牌
  • 米歇尔·泰阿托米歇尔·若昂·泰阿托(法语:Michel Johann Théato,1878年3月22日-1923年4月2日),卢森堡男子长跑运动员。他曾参加1900年夏季奥运会男子马拉松比赛,最终获得金牌,尽管无证据表明他曾
  • 灰树蛙灰树蛙(学名:)是一种在树木栖息的小型蛙类,大多是来自美国。有时灰树蛙亦被称为北美俗树蛙(North American common tree frog)。灰树蛙是因其身体的主要颜色为灰色而得其名。它们
  • 五色 (电影)《五色》(印尼语:,精确拼音(英语:Enhanced Indonesian Spelling System):)是一部在1941年上映的荷属东印度(今印度尼西亚)电影。一个男子身陷囹圄,在此期间,他年轻的妻子必须克服重重困
  • 盛竹如盛竹如(1940年2月8日-),是一位籍贯湖南长沙、出生于陕西西安的台湾大众媒体从业者、资深媒体人。他是台湾首位拥有主播职位的记者、电视制作人及节目主持人,也是台湾电视公司早期
  • 张英席张英席(1981年1月13日-),中国男高音美声歌手,出生于河北秦皇岛。曾赴美国留学,师从世界著名男高音多明戈;三年后学成归国,在母校中国音乐学院担任教师。2010年发行首张个人专辑《祖
  • 高春艳高春艳(1964年-),辽宁海城人,汉族,中华人民共和国政治人物、第十二届全国人民代表大会黑龙江地区代表。毕业于东北农业大学园艺专业,现为穆棱市农业技术推广中心研究员。加入中国共