拓扑熵

✍ dations ◷ 2025-06-29 01:47:18 #熵和资讯,遍历理论

在数学里,拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数,可以用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先是于1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁所提出来的。其定义是由测度熵中导出来的。之后,汀那伯格和洛福斯·鲍恩另给出了一个不同但等价的定义,将其延伸至豪斯多夫维。第二个定义厘清了拓扑熵的意义:对一个由迭代函数给出的系统,拓扑熵表示迭代不同轨道数的指数成长率。变分原理此一重要原理将拓扑及测度熵两种概念相关连了起来。

拓扑动力系统包括一个豪斯多夫空间 (通常假定为紧致的)和一个连续自映射 。其拓扑熵是一个非负实数,可以等价地以许多方式被定义。

令 是一紧致豪斯多夫空间。对任一 的有限覆盖 ,令 () 为覆盖 的 的最小元素数量的对数(通常底数为 2 )。对两个覆盖 和 ,令

为其(最小)公精致,包含所有 中的元素和 中的元素的非零交集。而多个覆盖的公精致也是类似的定义。对任一连续函数 :  →  ,下面的极限存在:

则 的拓扑熵,标记为 () 即定义为在所可能的有限覆盖 上的 (,) 的最小上界。

的各部分可能可以被视为是(部分地)描述了 上的点 的位置的符号:所有点 ∈ 都被配上符号 。想像 的位置被一特定仪器(不完美地)量测,且 的每个部分都会对应于量测的每个可能输出。然后,整数 H ( C f 1 C f n + 1 C ) {\displaystyle H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)} 的点所需长度 的“词”的最小数量,依据其头 n-1 次迭代的行为,或另个角度来说,是由划分 中“看到”迭代行为“方案”的总数。因此,拓扑熵即为描述映射 长迭代所需讯息的平均值。

此定义使用了在 (实际上,一致空间即足够)上的度量。令 (,) 为一紧致度量空间且 :  →  为一连续函数。对每一个自然数 ,一新度量被定义为

给定任一 > 0 及 ≥ 1 , 的两点被称为对此度量是 -接近的,若其头 次迭代是 -接近的。此一度量允许将一个轨道的邻域区分成在迭代中相互远离的点以及一起移动的点两种。 的子集 被称之为是 (, )-分离的,若每一对在 中的相异点都不是 -接近的。令 (, ) 为一 (, )-分离集合的最大势。映射 的拓扑熵即被定义为

因为 是紧致的, (, ) 会是有限的,且表示长度 相异轨道区段的数量,假定我们无法区分 -接近的两点。一简单的论证显示定义 () 的极限总是存在于扩展的实数轴中(但可能是无限大)。此一极限可以被解释成对相异轨道区段数量的平均指数成长率的量测。在这意义之下,拓扑熵可以用来量测拓扑动力系统 (,) 的复杂性。洛福斯·鲍恩更将拓扑熵的此定义扩展成允许 是非紧致的样式。


本条目含有来自PlanetMath《Topological Entropy》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。

相关

  • 通假字陶文 ‧ 甲骨文 ‧ 金文 ‧ 古文 ‧ 石鼓文籀文 ‧ 鸟虫书 ‧ 篆书(大篆 ‧  小篆)隶书 ‧ 楷书 ‧ 行书 ‧ 草书漆书 ‧  书法 ‧ 飞白书笔画 ‧ 
  • 胡戈·容克斯胡戈·容克斯(德语:Hugo Junkers,1859年2月3日-1935年2月3日)为普鲁士莱因省出生的男性工程师、发明家,以及容克斯飞机与发动机制造厂的创办者。个人生平中曾申请了多达约380项的
  • 营业执照营业执照是企业或其他单位、组织的合法经营权的登记凭证。从事经营活动的企业或个体户或其他组织,应当向工商局申领营业执照。既是企业法人或者经营单位主体资格取得的凭证(即
  • 德利多富Nixdorf电脑公司(Nixdorf Computer AG)是一家(德国)电脑公司,于1968年由海因斯·利多富在德国帕德博恩市所创办。该公司曾是欧洲第四大的电脑公司,并在银行系统领域中拥有全球性的
  • 坎塔布连方言坎塔布连方言指的是西班牙坎塔布连地区的当地方言,与标准的西班牙语有很大差别。根据不同的标准,坎塔布连方言可能还包括坎塔布连各地区、比斯开省边境、布尔戈斯和帕伦西亚一
  • 埃迪·托兰托马斯·爱德华·“埃迪”·托兰(英语:Thomas Edward "Eddie" Tolan,1908年9月29日-1967年1月),绰号“午夜快车”,美国男子田径运动员。他曾获得1932年夏季奥运会田径比赛男子100米
  • 澎湖大豆澎湖大豆(学名:)是豆科大豆属的植物。分布在台湾岛、南太平洋群岛、澳大利亚等地,多生于瘠薄干旱向阳的草坡或平地上,目前尚未由人工引种栽培。
  • 饭岛彰己饭岛彰己(1950年9月23日-)是日本商人,三井物产第11任社长。1950年出生于神奈川县横须贺市(逗子市)。1974年毕业于横滨国立大学企业经济学专业。1974年进入三井物产工作。之后历任
  • 王敬 (明朝宦官)王敬(?年-?年),明朝弘治时期的司设监太监。弘治年间,担任司设监太监。弘治三年(1490年),出任两广镇守太监。弘治十七年(1504年),调回北京。同年,他与无赖王臣以采药为名,带上二、三十个流氓
  • 天才向前冲《天才向前冲》是台湾中华电视公司(华视)综艺节目,2004年3月26日开播,2006年5月5日停播,制作单位是金是传播,制作人是黄义雄,首播时间为每星期五21:00,节目口号是:“《天才向前冲》,冲