拓扑熵

✍ dations ◷ 2025-07-28 00:47:14 #熵和资讯,遍历理论

在数学里,拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数,可以用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先是于1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁所提出来的。其定义是由测度熵中导出来的。之后,汀那伯格和洛福斯·鲍恩另给出了一个不同但等价的定义,将其延伸至豪斯多夫维。第二个定义厘清了拓扑熵的意义:对一个由迭代函数给出的系统,拓扑熵表示迭代不同轨道数的指数成长率。变分原理此一重要原理将拓扑及测度熵两种概念相关连了起来。

拓扑动力系统包括一个豪斯多夫空间 (通常假定为紧致的)和一个连续自映射 。其拓扑熵是一个非负实数,可以等价地以许多方式被定义。

令 是一紧致豪斯多夫空间。对任一 的有限覆盖 ,令 () 为覆盖 的 的最小元素数量的对数(通常底数为 2 )。对两个覆盖 和 ,令

为其(最小)公精致,包含所有 中的元素和 中的元素的非零交集。而多个覆盖的公精致也是类似的定义。对任一连续函数 :  →  ,下面的极限存在:

则 的拓扑熵,标记为 () 即定义为在所可能的有限覆盖 上的 (,) 的最小上界。

的各部分可能可以被视为是(部分地)描述了 上的点 的位置的符号:所有点 ∈ 都被配上符号 。想像 的位置被一特定仪器(不完美地)量测,且 的每个部分都会对应于量测的每个可能输出。然后,整数 H ( C f 1 C f n + 1 C ) {\displaystyle H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)} 的点所需长度 的“词”的最小数量,依据其头 n-1 次迭代的行为,或另个角度来说,是由划分 中“看到”迭代行为“方案”的总数。因此,拓扑熵即为描述映射 长迭代所需讯息的平均值。

此定义使用了在 (实际上,一致空间即足够)上的度量。令 (,) 为一紧致度量空间且 :  →  为一连续函数。对每一个自然数 ,一新度量被定义为

给定任一 > 0 及 ≥ 1 , 的两点被称为对此度量是 -接近的,若其头 次迭代是 -接近的。此一度量允许将一个轨道的邻域区分成在迭代中相互远离的点以及一起移动的点两种。 的子集 被称之为是 (, )-分离的,若每一对在 中的相异点都不是 -接近的。令 (, ) 为一 (, )-分离集合的最大势。映射 的拓扑熵即被定义为

因为 是紧致的, (, ) 会是有限的,且表示长度 相异轨道区段的数量,假定我们无法区分 -接近的两点。一简单的论证显示定义 () 的极限总是存在于扩展的实数轴中(但可能是无限大)。此一极限可以被解释成对相异轨道区段数量的平均指数成长率的量测。在这意义之下,拓扑熵可以用来量测拓扑动力系统 (,) 的复杂性。洛福斯·鲍恩更将拓扑熵的此定义扩展成允许 是非紧致的样式。


本条目含有来自PlanetMath《Topological Entropy》的内容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。

相关

  • 纽甜纽甜(Neotame)是一种人工甜味剂,分子式为C20H30N2O5。纽甜是世界上最甜的合成甜味剂,甜度是一般蔗糖的7000~13000倍,也是口味最接近蔗糖的甜味剂。纽甜在干粉状态下具有极佳的稳定
  • 南京师范大学坐标:32°03′21.61″N 118°45′52.27″E / 32.0560028°N 118.7645194°E / 32.0560028; 118.7645194南京师范大学位于江苏省南京市,是综合性师范特色的教学研究型大学,为国
  • 日本动漫动漫是动画或漫画的合称与缩写,原意也是动画和漫画,但现代一般词意(被误解成)单纯的指是动画或是漫画,并且为了区别对“动画等于幼稚”这种刻板印象而才有了动漫现代大部分误解的
  • 法国城市列表以下所列为人口超过50,000的法国城市(市区):括弧内为2010年人口数:
  • 2004年9月https://web.archive.org/web/20040827045910/http://www.livingchina.cn/
  • 越南糯米酒糯米酒(越南语:rượu nếp/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN NOM A","HAN NOM B","Ming-Lt-HKSCS-UNI-H","Ming-
  • 伊林齐区伊林齐区(乌克兰语:Іллінецький район),是乌克兰的一个区,位于该国西南部,由文尼察州负责管辖,首府设于伊林齐,面积910平方公里,2013年人口38,295,人口密度每平方公里
  • 帕科·埃雷拉弗朗西斯科·“帕科”·埃雷拉·洛伦佐(西班牙语:Francisco "Paco" Herrera Lorenzo,1953年12月2日-)是西班牙前足球运动员,司职中场,现在担任教练。
  • 段炅段炅(?-?),字德光,号河滨,山西阳曲县人,陕西兰州军籍,明朝政治人物。弘治十八年(1505年)乙丑科三甲第一名进士。授翰林院检讨。谄附阉党重臣焦芳,刘瑾事败,被撤职。与康海、王九思均以诗文
  • 表 (史书)表,一作谱(见八家后汉书),是东亚纪传体史书中经常出现的一个部分,与本纪、列传、志不同,是以表格来整理历史现象之流变,以使人易于理解。