几何级数

✍ dations ◷ 2025-10-24 21:22:58 #几何级数
等比数列,又名几何数列(英文:geometric sequence 或 geometric progression),是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比(common ratio)。例如数列:就是一个等比数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于 2 {displaystyle 2} 。如果一个等比数列的首项记作 a {displaystyle a} ,公比记作 r {displaystyle r} ,那么该等比数列第 n {displaystyle n} 项 a n {displaystyle a_{n}} 的一般项为:换句话说,任意一个等比数列 { a n } {displaystyle {a_{n}}} 都可以写成在一个等比数列中,给定任意两相连项 a n + 1 {displaystyle a_{n+1}} 和 a n {displaystyle a_{n}} (其中 a n ≠ 0 {displaystyle a_{n}neq 0} ),可知公比给定任意两项 a m {displaystyle a_{m}} 和 a n {displaystyle a_{n}} ,则有公比这里注意,若 m − n {displaystyle m-n} 是偶数,则公比可取此结果的正值或负值。此外,在一个等比数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之积,为原来该项的平方。举例来说, a 1 × a 3 = a 2 2 {displaystyle a_{1}times a_{3}={a_{2}}^{2}} 。更一般地说,有:证明如下:证毕。从另一个角度看,等比数列中的任意一项,是其前一项和后一项的几何平均:此结果从上面直接可得。如果有整数 m , n , p , q {displaystyle m,n,p,q} ,使得 m + n = p + q {displaystyle m+n=p+q} ,那么则有:证明如下:由此可将上面的性质一般化成:其中 k {displaystyle k} 是一个小于 n {displaystyle n} 的正整数。给定一个等比数列 { a n } {displaystyle {a_{n}}} ,则有:从等比数列的一般项可知,任意一个可以写成形成的数列,都是一个等比数列,其中公比 r = q {displaystyle r=q} ,首项 a = p q {displaystyle a=pq} 。一个等比数列的首 n {displaystyle n} 项之和,称为等比数列和(sum of geometric sequence)或几何级数(geometric series),记作 S n {displaystyle S_{n}} 。举例来说,等比数列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {displaystyle {1,2,4,8}} 的和是 1 + 2 + 4 + 8 = 15 {displaystyle 1+2+4+8=15} 。等比数列求和的公式如下:其中 r ≠ 1 {displaystyle rneq 1} 。公式证明如下:将等比数列和写作以下形式:将两边同乘以公比 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}r,有:(1)式减去(2)式,有:当 r ≠ 1 {displaystyle rneq 1} 时,整理后得证。当 r = 1 {displaystyle r=1} 时,可以发现:综上所述,等比数列的求和公式为:当 − 1 < r < 1 {displaystyle -1<r<1} 时,注意到因此,我们可得无限项之和(sum to infinity)的公式为由此可见,当 − 1 < r < 1 {displaystyle -1<r<1} 时,几何级数会收敛到一个固定值。一个等比数列的首 n 项之积,称为等比数列积(product of geometric sequence),记作 Pn。举例来说,等比数列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {displaystyle {1,2,4,8}} 的积是 1 × 2 × 4 × 8 = 64 {displaystyle 1times 2times 4times 8=64} 。等比数列求积的公式如下:证明如下:最后一步,使用了等差数列的求和公式。

相关

  • 醛固酮增多症醛固酮增多症(hyperaldosteronism),是一种由于肾上腺产生的醛固酮过多导致的疾病。醛固酮过多可进一步造成血液中钾水平降低(低钾血症)和氢离子排泄增多(碱中毒(英语:alkalosis))。醛
  • 弥散性血管内凝血弥散性血管内凝血(英语:Disseminated Intravascular Coagulation,简称DIC),又称消耗性凝血病,是指在某些致病因子的作用下,大量促凝物质入血,凝血因子和血小板被活化,使凝血酶增多,微
  • 过敏性变应性结膜炎(英语:allergic conjunctivitis,亦称为过敏性结膜炎或变态反应性结膜炎)是结膜的过敏性炎症,虽然症状可能非常明显,但通常不会致盲。在发达国家,估计过敏性结膜炎的患
  • 国际基础药理学与临床药理学联合会国际基础药理学与临床药理学联合会(International Union of Basic Pharmacology and Clinical Pharmacology)是一个国际性的、自发非盈利组织。该组织的前身是国际药理学联合
  • 新石器革命新石器革命泛指在公元前一万年左右在不同地区同时出现的社会模式改变现象。它的基本内容人类族群从狩猎采集社会向农耕社会的转型。这一转型导致到了人类族群的定居,和在科学
  • 火山学火山学是一门研究火山、熔岩、岩浆及相关地质学、地球物理学、和地球化学现象的学问。研究火山学的人称为火山学家。火山学家是地质学家,他们研究火山的喷发活动和火山的形成
  • 葡萄酒酿制葡萄酒酿制为生产葡萄酒的过程,包含从最初选择葡萄种类或者其他农产品作为酿酒原料,一直到最终将酿出的酒装瓶为止。虽然大多数葡萄酒都是由葡萄酿造而成,但也可以使用其他水果
  • 生命科技生物技术(英语:biotechnology),又称为生物科技,指利用生物体(含动物,植物及微生物的细胞)来生产有用的物质或改进制程,改良生物的特性,以降低成本及创新物种的科学技术。根据不同的工
  • 弗莱福兰弗莱福兰(荷兰语:Flevoland)是荷兰中部的一省。面积2,343平方公里。1986年1月1日建省,是荷兰第12省、最新的省份,分成6市。东北是弗里斯兰省、西南是北荷兰省、南是乌得勒支省、
  • 谢联辉谢联辉(1935年3月9日-),福建龙岩人,中国植物病理学家,福建农业大学植物病毒研究所教授、所长。1958年毕业于福建农学院。1991年当选为中国科学院院士(学部委员)。