几何级数

等比数列，又名几何数列（英文：geometric sequence 或 geometric progression），是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比（common ratio）。例如数列：就是一个等比数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于 2 {displaystyle 2} 。如果一个等比数列的首项记作 a {displaystyle a} ，公比记作 r {displaystyle r} ，那么该等比数列第 n {displaystyle n} 项 a n {displaystyle a_{n}} 的一般项为：换句话说，任意一个等比数列 { a n } {displaystyle {a_{n}}} 都可以写成在一个等比数列中，给定任意两相连项 a n + 1 {displaystyle a_{n+1}} 和 a n {displaystyle a_{n}} （其中 a n ≠ 0 {displaystyle a_{n}neq 0} ），可知公比给定任意两项 a m {displaystyle a_{m}} 和 a n {displaystyle a_{n}} ，则有公比这里注意，若 m − n {displaystyle m-n} 是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说， a 1 × a 3 = a 2 2 {displaystyle a_{1}times a_{3}={a_{2}}^{2}} 。更一般地说，有：证明如下：证毕。从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均：此结果从上面直接可得。如果有整数 m , n , p , q {displaystyle m,n,p,q} ，使得 m + n = p + q {displaystyle m+n=p+q} ，那么则有：证明如下：由此可将上面的性质一般化成：其中 k {displaystyle k} 是一个小于 n {displaystyle n} 的正整数。给定一个等比数列 { a n } {displaystyle {a_{n}}} ，则有：从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成形成的数列，都是一个等比数列，其中公比 r = q {displaystyle r=q} ，首项 a = p q {displaystyle a=pq} 。一个等比数列的首 n {displaystyle n} 项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作 S n {displaystyle S_{n}} 。举例来说，等比数列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {displaystyle {1,2,4,8}} 的和是 1 + 2 + 4 + 8 = 15 {displaystyle 1+2+4+8=15} 。等比数列求和的公式如下：其中 r ≠ 1 {displaystyle rneq 1} 。公式证明如下：将等比数列和写作以下形式：将两边同乘以公比 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}r，有：(1)式减去(2)式，有：当 r ≠ 1 {displaystyle rneq 1} 时，整理后得证。当 r = 1 {displaystyle r=1} 时，可以发现：综上所述，等比数列的求和公式为：当 − 1 < r < 1 {displaystyle -1<r<1} 时，注意到因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为由此可见，当 − 1 < r < 1 {displaystyle -1<r<1} 时，几何级数会收敛到一个固定值。一个等比数列的首 n 项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作 Pn。举例来说，等比数列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {displaystyle {1,2,4,8}} 的积是 1 × 2 × 4 × 8 = 64 {displaystyle 1times 2times 4times 8=64} 。等比数列求积的公式如下：证明如下：最后一步，使用了等差数列的求和公式。