无界算子

✍ dations ◷ 2025-07-03 14:42:29 #线性算子,算子理论

在数学中, 特别是泛函分析与算符理论, 无界算子的概念提供了用于处理微分算符, 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.

无界算子的名称具有一定的误导性,这是因为

不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数,甚至不构成线性空间,这是因为每一个无界算子有各自的定义域。

“算子”通常指“有界线性算子”,但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为希尔伯特空间,但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间。

无界算子理论诞生于20世纪20年代后期,30年代前期,作为量子力学这套严格的数学框架的一部分而得到发展. The theory's development is due to John von Neumann and Marshall Stone. 冯诺依曼在1936年利用图对无界算符进行分析.

12 为 巴拿赫空间. 无界算子 (或简称为)  : 12是一个线性映射 , 从1 的线性子空间() (的定义域)映射到空间 2. 不同于惯例, 可能不定义在整个空间1.

如果函数图 Γ() 为一个闭集,算子被称为闭算子. (这里,图 Γ() 是直和12的一个线性子空间,定义为所以对(, )的集合, 定义在上). 这意味着,对所有来自域的点列(),收敛到, 收敛到, 在域上成立,且 = . 有界性可以通过描述: 算符 是有界的, 当且仅当它的定义域 () 是关于下面的模的完备空间:

如果在1上定义域稠密,算子 被稠密定义。这同样包括定义在整个 1 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。

若 : 12为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在1上.

如果 + 是实数 的正算符,希尔伯特空间 上稠密定义的算符 被称作下有界. 即,对所有域上的来说,⟨|⟩ ≥ −·||||2 . 如果 与 (–) 都是下有界的,有界.

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