对称矩阵

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在线性代数中，对称矩阵（英语：symmetric matrix）指转置矩阵和自身相等方形矩阵。

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴进行对称。若将其写作${\displaystyle A=(a_{ij})}$和，

下列是3×3的对称矩阵：

× 矩阵出现在二阶连续可微的元函数的黑塞矩阵之中。

R上的每一个二次型都可以唯一写成(x) = xTx的形式，其中是对称的 × 矩阵。于是，根据谱定理，可以说每一个二次型，不考虑R的正交基的选择，“看起来像”：

其中λ是实数。这大大简化了二次型的研究，以及水平集{x : (x) = 1}的研究，它们是圆锥曲线的推广。

这是很重要的，部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现，都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述；这是泰勒定理的一个结果。

矩阵A称为可对称化的，如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S，使得：

可对称化矩阵的转置也是可对称化的，因为${\displaystyle (DS{)}^T=SD=D^{-<!--\; -\; -->1}DSD}$，而${\displaystyle DSD}$是对称的。

当且仅当${\displaystyle A=}$满足以下的条件时，矩阵可对称化：

对称阵 Z 分解为3行3列:

当且仅当

时, 存在 ${\displaystyle X=Z_{13}^T{Z}_{11}^{-<!--\; -\; -->1}{Z}_{12}-<!--\; -\; -->Z_{23}^T}$, 使得

成立。