折纸公理

折纸公理，又称藤田－羽鸟公理或藤田－贾斯汀公理，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早于1989年由雅克·贾斯汀（Jacques Justin）发现。截至目前为止，共推衍了6个公理，其中，公理1－6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。定理7也于2001年由羽鸟公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。

前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鸟公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

给定两点 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$，有且仅有一条折痕同时过这两点。

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

给定两点 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$，有且仅有一种方法把 ${\displaystyle p_1}$ 折到 ${\displaystyle p_2}$ 上。

这条公理相当于是作线段 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p_1{p}_2}}$的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

给定两直线 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$，可以把 ${\displaystyle l_1}$ 折到 ${\displaystyle l_2}$ 上。

这条公理相当于是找出 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$ 组成的角的平分线。假设 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$ 是 ${\displaystyle l_1}$ 上任意两点，${\displaystyle q_1}$ 和 ${\displaystyle q_2}$ 是 ${\displaystyle l_2}$ 上任意两点，${\displaystyle \mathbf{u}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 分别是 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$ 方向的单位向量：

如果两直线不平行，它们的交点为：

其中

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

折痕的参数方程是：

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 ${\displaystyle p_{int}}$。而沿着任意一条角平分线折都能将 ${\displaystyle l_1}$ 折到 ${\displaystyle l_2}$ 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 ${\displaystyle l_1}$ 折到 ${\displaystyle l_2}$ 上

给定一点 ${\displaystyle p_1}$ 和一条直线 ${\displaystyle l_1}$，有且仅有一种方法过 ${\displaystyle p_1}$ 折出 ${\displaystyle l_1}$ 的垂线。

向量 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 是垂直于 ${\displaystyle l_1}$ 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

给定两点 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$ 和一条直线 ${\displaystyle l_1}$，可以沿过 ${\displaystyle p_2}$ 的直线将 ${\displaystyle p_1}$ 折到 ${\displaystyle l_1}$ 上。

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 ${\displaystyle l_1}$ 和以${\displaystyle p_2}$ 为圆心，${\displaystyle p_2}$ 到 ${\displaystyle p_1}$ 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 ${\displaystyle (x_1,y_1)}$ 和 ${\displaystyle (x_2,y_2)}$，那么直线可以表示为：

如果圆心 ${\displaystyle p_2=(x_c,y_c)}$，半径 ${\displaystyle r=\left|p_1-<!--\; -\; -->p_2\right|}$。那么这个圆可以表示为：

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

或者可以简化为：

其中：

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

如果判别式 ，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令${\displaystyle d_1}$ 和 ${\displaystyle d_2}$ 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

折痕 ${\displaystyle F_1(s)}$ 垂直平分 ${\displaystyle m_1}$，可以将 ${\displaystyle p_1}$ 折到 ${\displaystyle d_1}$。同样，折痕 ${\displaystyle F_2(s)}$ 垂直平分 ${\displaystyle m_2}$，可以将 ${\displaystyle p_1}$ 折到 ${\displaystyle d_2}$。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

给定两点 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$ 和两直线 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$，可以一次将 ${\displaystyle p_1}$ 、${\displaystyle p_2}$ 分别折到 ${\displaystyle l_1}$ 、${\displaystyle l_2}$ 上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 ${\displaystyle p_1}$ 和 ${\displaystyle p_2}$，准线分别是 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$。

给定一点 ${\displaystyle p}$ 和两直线 ${\displaystyle l_1}$ 和 ${\displaystyle l_2}$，可以沿着 ${\displaystyle l_2}$ 的垂线将 ${\displaystyle p_1}$ 折到 ${\displaystyle l_1}$ 上。

过 ${\displaystyle p}$ 点作 ${\displaystyle l_2}$ 的平行线，交 ${\displaystyle l_1}$ 于 ${\displaystyle q}$，这个公理就是要找出线段 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{pq}}$ 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 ${\displaystyle p}$ 折到 ${\displaystyle q}$ 上。