卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。

其中${\displaystyle \mathcal{F}(f)}$ 的傅里叶变换。下面这种形式也成立：

借由傅里叶逆变换${\displaystyle {\mathcal{F}}^{-<!--\; -\; -->1}}$

令、属于1(R)。${\displaystyle F}$和之间的表示R上的内积。

现在发现，

因此，通过富比尼定理我们有${\displaystyle h\in <!--\; \in \; -->L^1({\mathbb{R}}^n)}$，于是它的傅里叶变换${\displaystyle H}$由积分式定义为

观察到${\displaystyle |f(x)g(z-<!--\; -\; -->x)e^{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}iz\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}|=|f(x)g(z-<!--\; -\; -->x)|}$，因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理（即交换积分顺序）：

代入 ${\displaystyle y=z-<!--\; -\; -->x}$; ${\displaystyle dy=dz}$

这两个积分就是${\displaystyle F(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$和${\displaystyle G(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$的定义，所以：

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