RP (复杂度)

✍ dations ◷ 2025-04-26 11:43:33 #概率复杂度类,计算机科学中未解决的问题

在复杂度理论内,RP("随机多项式时间")是一个有关几率图灵机的复杂度类,并且存在以下特性:

换句话说,这个算法允许在操作的时候进行全然几率的猜测。这个算法会回传YES的状况必然是输入为真的状况;因此如果这个算法说了YES,那我们就知道了这个输入必定为是:不过,这个算法可以在不管正确解答为何的时候回传NO。也就是,如果这个算法回传答案是错的,可能是这个算法犯错了(也就是其实这个输入应该是对的)。

有一些作者叫这一个复杂度类R,不过这个名字更常被使用于定义包含了所有递归语言的复杂度类。

如果输入的答案为"是"且这个算法运作了次,每次跑出来的答案统计上独立于其他答案,那回传起码一次YES的几率则至少有1 − 2−这么多。所以如果这个算法跑了够多的次数,那数学上来说他回传错误解答的几率就会变得非常非常小,甚至小过运算的电脑被宇宙射线影响因此错误的几率。在这个概念上,如果我们有一个够好的乱数来源,大多数的RP算法都是非常具有实做价值的。

这里选用的1/2这个常数,是不需要太严格的一个选择:无论我们将定义里面的1/2换成任何小于1的非零常数,RP这个集合仍旧包含了所有原来的问题。(这里的常数代表说此数字跟输入没有任何关系)

RP的定义告诉我们,如果RP算法说答案是YES,则答案一定为"是":如果说是NO,则"通常"答案会是"非"。复杂度类co-RP的定义方式类似,不过是说答案是NO的时候,则答案一定是非,说答案是YES的时候答案则"通常"为是。换句话说,RP算法接受了所有的YES状态,而接受或者拒绝了一部分的NO状态。BPP这个复杂度类形容的算法则是在YES状态跟NO状态都有可能犯错的算法,因此它同时包含了RP和co-RP。

RP与co-RP的交集则叫做ZPP。

如同RP有时候被叫做R,有一些作者使用co-R而非co-RP。

P是RP的子集,而RP是NP的子集。 相同的,P也是co-RP的子集,而co-RP则是co-NP的子集。我们尚未知道这一些是否是严格子集(也就是说,这一些集合是否相等或不相等)。然而,一般我们相信P = BPP这个推测是真实的,这样一来的话RP,co-RP,P就全部都是相等的了。如果我们又假设P ≠ NP的话,这就代表说RP严格包含于NP(也就是RP ≠ NP)。我们还不知道是否RP = co-RP,抑或是否RP是NP和co-NP的交集的子集合,不过这些都可以由P = BPP这件事情推论出来。

一个比较自然的例子确定此问题在co-RP里面但是尚不知道是否在P里面的是等同多项式检定,此问题决定给予的多变量整数多项式是否等于一个零多项式。举例来说, · - · - ( + )·( - )是一个零多项式,而· + ·则不是。

另一种有时候比较好使用的RP的定义是能够被非决定型图灵机解决问题的集合。此机器接受答案,当且仅当至少有常数比例条计算路径(此常数与输入长度无关)回传解答为"是"。另一方面NP则只需要一条路径回传答案为是,这件事实使我们针对同一个问题可以建立比较少的路径。因此,此特征显示出RP显然是NP的子集合。

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