同余关系

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:17:13 #代数,抽象代数,同余,数学关系

在数学特别是抽象代数中,同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

元型例子是模算术:对于一个正整数,如果 − 整除于(还有一个等价的条件是它们除以得出同样的余数),则两个整数和被称为同余模。

例如,5和11同余模3:

因为11 − 5得出6,它整除于3。或者等价的说,这两个数除以3得到相同的余数:

如果 a 1 b 1 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}} )变成了在所有整数的环上的一个等价。

两个实数矩阵和被称为合同的,如果存在可逆实数矩阵使得

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵,必须区分“T合同”(和是T合同,如果有可逆矩阵使得T = )和“*合同”(和是*合同,如果有可逆矩阵使得* = )。

想法是推广到泛代数中:代数上的同余关系是直积×的子集,它既是在上的等价关系又是×的子代数。

同态的核总是同余。实际上,所有同余引起自核。对于给定在上的同余~,等价类的集合/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同余关系的格是代数格。

在群的特殊情况下,同余关系可以用基本术语描述为:如果是群(带有单位元)并且~是在上的二元关系,则~是同余只要:

条件1, 2和3声称~是等价关系。

同余~完全确定自的同余于单位元的那些元素的集合{ ∈  : ~ },而这个集合是正规子群。特别是, ~ 当且仅当−1 * ~ 。所以替代谈论在群上同余,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同余都唯一的对应于的某个正规子群。

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同余关系,在模理论中为子模来替代同余关系。

这个技巧不适用于幺半群,所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

相关

  • H·罗伯特·霍维茨科妮莉亚·巴格曼霍华德·罗伯特·霍维茨(英语:Howard Robert Horvitz,1947年3月8日-),美国生物学家,以研究线虫动物门的秀丽隐杆线虫而著名。因发现器官发育和细胞程序性细胞死亡(
  • 副驾驶副机师(英文:First Officer,缩写:FO)亦称副机长、副驾驶,可以分为初级和高级,职级比机长低,惟资历不一定比机长浅。副驾驶是航机内拥有第二指挥权的人,权力次于机长。副驾驶肩章上拥
  • 精神科医生精神科医生(英语:Psychiatrist)是以精神病学为专业的医生,负责治疗精神病。精神科医生授权配药、进行体格检查及心理治疗、以及进行神经成像如电脑断层扫描、核磁共振成像和正电
  • 全球互通微波存取全球互通微波访问(英语:Worldwide Interoperability for Microwave Access,缩写为WiMAX)是一项高速无线数据网络标准,主要用在城域网,由WiMAX论坛提出并于2001年6月成形。它可提供
  • 2003年夏季世界大学生运动会第二十二届夏季世界大学生运动会于2003年8月21日至2003年8月31日在韩国的大邱举行。这是韩国首次主办夏季世界大学生运动会,韩国也成为第三个获得夏季大学生运动会主办权的亚
  • 立方千米、立方千米立方千米(㎦,U+33A6 (13222))是一个非常巨大的容积单位,相等于一个每边边长一千米的正方体所能容纳的体积。若把一个一立方千米的箱注满了水,其重量可高达1拍克重。1 立方千米 =
  • 斯坦利·霍耶斯坦尼·哈米尔顿·霍耶(英语:Steny Hamilton Hoyer ,1939年6月14日-),美国政治人物,民主党籍的美国众议院议员,现任众议院多数党领袖,众议院民主党的第二号人物。自1981年起出任马里
  • 武夷山脉武夷山脉(闽北语:Ǔ-ǐ-súing)位于中国江西省、福建省两省边境,以传说中的山神武夷君而得名。北接仙霞岭,南接九连山,呈东北-西南走向。长约550千米,海拔1000米左右。是赣江、抚河
  • 氦化钠氦化钠是一种钠的稀有气体化合物,化学式为Na2He,其结构可表示为(Na+)2He(2e−),于2016年由中国化学家制得。氦化钠由钠与氦在高温与极高压(>113GPa)下合成。Na2He在接近1,500K的
  • 几何-调和平均数两个正实数和的几何-调和平均数定义如下:首先计算的几何平均数,称其为1。然后计算的调和平均数,称其为1.然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列()和():这两个数列收敛于相同的数