同余关系

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:54:06 #代数,抽象代数,同余,数学关系

在数学特别是抽象代数中,同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

元型例子是模算术:对于一个正整数,如果 − 整除于(还有一个等价的条件是它们除以得出同样的余数),则两个整数和被称为同余模。

例如,5和11同余模3:

因为11 − 5得出6,它整除于3。或者等价的说,这两个数除以3得到相同的余数:

如果 a 1 b 1 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}} )变成了在所有整数的环上的一个等价。

两个实数矩阵和被称为合同的,如果存在可逆实数矩阵使得

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵,必须区分“T合同”(和是T合同,如果有可逆矩阵使得T = )和“*合同”(和是*合同,如果有可逆矩阵使得* = )。

想法是推广到泛代数中:代数上的同余关系是直积×的子集,它既是在上的等价关系又是×的子代数。

同态的核总是同余。实际上,所有同余引起自核。对于给定在上的同余~,等价类的集合/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同余关系的格是代数格。

在群的特殊情况下,同余关系可以用基本术语描述为:如果是群(带有单位元)并且~是在上的二元关系,则~是同余只要:

条件1, 2和3声称~是等价关系。

同余~完全确定自的同余于单位元的那些元素的集合{ ∈  : ~ },而这个集合是正规子群。特别是, ~ 当且仅当−1 * ~ 。所以替代谈论在群上同余,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同余都唯一的对应于的某个正规子群。

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同余关系,在模理论中为子模来替代同余关系。

这个技巧不适用于幺半群,所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

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