金钱的时间价值

金融学中，金钱的时间价值、货币的时间价值或资金的时间价值（英语：time value of money，缩写为 TVM）是一种表示“金钱价值会随时间改变”的重要基本概念。在金融市场里，资金即是可供交易的商品，以“利率”为价格行贩售。当借款者与贷放者在利率上达成协议时，借贷契约则成立。同理，就整个市场而言，当所有资金供给者与需求者达成价格上的妥协后，均衡利率即被决定。而此利率的出现便会导致“今天拥有得的钱，在未来可以产生额外的价值”。而这种今日的一块钱会比明日的一块钱还要值钱，而明日的一块钱又更会比后日的一块钱还要更值钱的现象，就是金钱的时间价值。一笔资金，在现在的价值称为现值（present value），未来的价值称为终值（future value）。终值也就是复利的结果。复利是指定期以本利和计算一次利息的计息方式。以储蓄为例，若今一人将他的一万元存入银行内为期一年的定期存款账户，利率为8%，每年复利一次，则该人在一年后可以提领的金额将会是10,000×（1+8%）=10,800元 。此一万元生出了800元的利息，经济学上来说，此人一万元存款的终值在一年后就是10,800元。将以上的计算过程一般化后，即可得：其中P是现值，F是终值，r是每期必要报酬率（required rate of return per time period），n是期数（number of time periods）。若投资期间不变，利率越高，终值越高；在相同的利率水准下，投资期越长，息票发给次数较多，终值也会越高。如果将此式等号两侧取倒数，则可以得到：如上式，将终值转换为现值的过程，称为折现，其所使用的利率则称为折现率。折现的意义在于可以将未来不同时间点的货币价值换算为今日的价值，有助于财务上比较价值大小。由数学式中可以发现，在投资期间不变的情况下，折现率越高，表示未来的已知货币价值是经由较高的利率复利而来，所以其现值会较低；而在相同的利率水准下，投资期间越长，表示未来的货币价值是经过较长时间复利而来，其现值也将会较低。年金（annuity）是指在一个特定时间内，定期支付的等额现金流量，也就是以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金的一种。年金随着支付时间的不同，有不同名称。其中，开始支付的时间点始于支付约定成立后的第一期期末者，称为普通年金（annuity-immediate或ordinary annuity）；而若支付始于支付约定成立后的第一期期初者，称为期初年金（annuity-due或due annuity）。要注意的是，期初年金由于几乎是在约定成立时就已经支付了第一次年金，因此总括来说，若结束的时点相同，则计算上利期初年金的复利会比普通年金还要多一次。由于年金是一连串的定期、等额现金支付，因此年金的“年金终值”即为这一连串等额现金支付的个别终值总和。若有一个人每年都支付1,000元年金，每年年尾付款（普通年金），持续五年，利率10%，则可计算得该年金其终值会是：1,000×（1+10%）4 +1,000×（1+10%）3+1,000×（1+10%）2+1,000×（1+10%）=6,105.1元。而若改为期初年金，在每年年头付款，则由于在每期期初即支付了1,000元，因此在复利过程中，每期期初年金的终值都较普通年金多复利了一次，其终值将会为1,000×（1+10%）5+1,000×（1+10%）4+1,000×（1+10%）3+1,000×（1+10%）2+1,000×（1+10%）=6,715.6元。将以上算式一般化，透过等比级数公式，则可以得到第 n 个时间点为计算时点之普通年金终值为：其中，A是每期固定支付金额，i为利率水准；FIVFA为年金终值利率因子，可以由查表所得。而期初年金因为多复利一次，故其年金终值为：透过回推上述公式，则可以由年金终值推回年金现值。回推年金现值就相当于是在问“如果未来的那一天，年金内的金额被一次性地还给了付款人，则到时这笔还款的金额，就相当于是在‘现在’这个时间点，一次性地还给了付款人多少钱呢？”，或者，也可以理解为是在问“如果年金付款人希望在未来的某一天，以某一笔特定的价格卖掉届时他已经付了几次的年金，那么，他未来到时会拿到的这笔钱，就相当于‘现在’这个时间点，他手上握著多少的现金呢？”，又或者是在问“在未来某个时间点价值金额为某个数值的年金，在现在这个利率水准下，对我来说的价值相当于多少钱？”一个人现在这个时间点上所手握的现金，会在未来一次一次的支付中，一期一期的复利成为未来的年金终值。而一笔年金的折现即为一系列支付金额的折现值。对普通年金来说，其数学表达为：对期初年金来说，则为：世界上大多数的年金都会有一定的支付期间，然而有一种年金的支付是没有期限的，此种年金称为永续年金。由于永续年金没有限，计算其终值可视为无意义。真正有价值者应为其之现值。当利率小于1时，也就是在绝大多数情况下，可由等比级数公式导出一个普通永续年金的现值为：其中，i为利率，PMT为每期支付的金额。永续年金的现值即为所有个别PMT的现值总和；然而由于是无限期支付，因此在符合收敛的条件下，无穷等比级数的应用才能得以实现。期初永续年金的现值则为普通永续年金的现值再乘上（1+i）倍。