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Thin群 (围长)

✍ dations ◷ 2025-06-10 05:16:19 #群的性质

数学上，一个群称为thin，如果以任意有限生成集合导出的凯莱图的围长，有一个有限上界。一个不是thin的群称为fat。

给定群的一个生成集合，考虑由之导出的凯莱图。图的顶点是群的元素。当一个元素是另一个元素乘以一个生成元时，将两个元素的对应顶点用一条边相连。这个图是连通图，也是顶点传递的。图中的道路对应于用生成元写成的字。

如果凯莱图中有一个给定长度的圈，则有一个相同长度的圈包含单位元。所以这个图的围长是化约为单位元的非平凡字的最短长度。

若凯莱图中没有圈，其围长定为无限。

群关于生成集合的围长记为(,)。

凯莱图的围长依赖于生成集合。一个群是thin，如果对任意有限生成集合，围长都有一个上界。

设 $\mathbf {X} _{G}$ 的有限生成集合族，记的围长为

若 $U(G)<\infty$ 是thin。

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