幻方

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从${\displaystyle 1}$到${\displaystyle N^2}$的连续整数组成，其中${\displaystyle N}$为正方形的行或列的数目。因此${\displaystyle N}$阶幻方有${\displaystyle N}$行${\displaystyle N}$列，并且所填充的数为从${\displaystyle 1}$到${\displaystyle N^2}$。

幻方可以使用${\displaystyle N}$阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数${\displaystyle M_2(N)}$，如果填充数为${\displaystyle 1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,N^2}$，那么有

《系辞》云：“河出图，洛出书，圣人则之。”在宋朝之前，洛书的记述只有文字。

九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。

后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图，为${\displaystyle 1,\dots <!--\; \dots \; -->,9}$这${\displaystyle 9}$个数，而${\displaystyle 3}$行、${\displaystyle 3}$列以及两对角线上各自的数之和均为15。

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、${\displaystyle 4M}$阶幻方和${\displaystyle 4M+2}$阶幻方，其中${\displaystyle M}$为自然数，${\displaystyle 2}$阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图${\displaystyle 5}$阶幻方为例，${\displaystyle 1}$填写在${\displaystyle (1,3)}$（第一行第三列）的位置上；${\displaystyle 2}$应当填写在其右上方格即${\displaystyle (0,4)}$中，由于${\displaystyle (0,4)}$超出顶边界，所以从最底行进入，即${\displaystyle (5,4)}$；${\displaystyle 3}$填写在${\displaystyle (5,4)}$的右上方格${\displaystyle (4,5)}$中；${\displaystyle 4}$填写在${\displaystyle (4,5)}$的右上方格${\displaystyle (3,6)}$中，由于${\displaystyle (3,6)}$超出右边界，所以从最左列进入，即${\displaystyle (3,1)}$；${\displaystyle 5}$填写在${\displaystyle (3,1)}$的右上方格${\displaystyle (2,2)}$中；${\displaystyle 6}$应该填写的方格${\displaystyle (1,3)}$已经被${\displaystyle 1}$所占据，因此填写在${\displaystyle (2,2)}$的正下方格${\displaystyle (3,2)}$中；按照上面的步骤直到所有数填入。

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

对于${\displaystyle 4M}$阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。将它分割成${\displaystyle M^2}$个${\displaystyle 4\times <!--\; \times \; -->4}$区块，再将其每一个区块的非主副对角线上的各个数关于中心对调即可。
如4阶幻方的排列法：

按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：

八阶幻方构造如下
${\displaystyle }$
即：

以${\displaystyle 6}$阶为例子，先排出${\displaystyle 4}$阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上${\displaystyle 8m+2=10}$，有下图：

在外围加上一圈格子，把${\displaystyle 1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,8m+2}$和${\displaystyle 16m^2+8m+3,16m^2+8m+4,\dots <!--\; \dots \; -->,(4m+2{)}^2}$这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于${\displaystyle 16m(m+1)+5}$。对于${\displaystyle m=1}$这些数是：${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$；${\displaystyle 27,28,29,30,31,32,33,34,35,36}$。
结果如下：

在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在余下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：

 4 1    1 4    1 4  L      U      X 2 3    2 3    3 2

例子：

   17L     24L      1L      8L     15L   23L      5L      7L     14L     16L    4L      6L     13U     20L     22L   10U     12U     19L     21U      3U   11X     18X     25X      2X      9X

编程语言参考实现

四阶幻方全解搜索(C/C++)">编辑]

#include<stdio.h>int a,b,m;void s(int i){  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/    int n=0,j=0;    while(++j<17)        if(!a)        {            a=j]=1;            switch(i)            {                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;                case 11:if(b+b+b+b==34)s(12);break;                case 4:case 8:case 12:if(b+b+b+b==34)s(i+1);break;                case 13:if(b+b+b+b==34&&b+b+b+b==34)s(14);break;                case 14:case 15:if(b+b+b+b==34)s(i+1);break;                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b);             }             a=0;        }}int main(void){    s(1);    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);    return 0;}

奇数阶幻方算法的Java语言实现

/*** @author: contribute to wikipedia according GNU* @description:用於創建奇數階的幻方*/public class magic_squre_odd {       static int  matrix;       static int   n;       public static void magic_squre_odd_generate()       { matrix = new int;         //所有的數初始化為0         matrix = 1;         int x = 0,y = (n-1)/2;         //count:記住已經插入過的數          for(int count = 2; count<=n*n;count++)          while(true)          {          //先x-1 y+1        	  x--;        	  y++;        	  //判斷是否可以插入          	  while(true)                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止                    //判斷是否越界：                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue                   if(x<0)                   {                   	x += n;                   	continue;                   }                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue                   if(y>=n)                   {                   	y -= n;                   	continue;                   }        	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue                   if (y<0){y+=n;continue;}                   if(matrix != 0 )                   {                   	x += 2;y -= 1;                   	if (x>=n){x-=n;continue;}                   	if (y<0){y+=n;continue;}                   	continue;                   }                   break;                 }                 //將當前的count值賦給選出的空位                      matrix= count;                      break;         }       }       public static void print()       {        	for(int i = 0; i < n; i++)        	{        		for(int j = 0; j < n; j++)        	    {        			//System.out.println(matrix);        			System.out.print(matrix);        			System.out.print("_");        	    }        		System.out.println();        	}       }       public  static void main(String args)       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數             n = 11;           magic_squre_odd_generate();           print();       }}

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 6680 93 106 119 11 13 26 39 52 65 6792 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 1037 20 33 35 48 61 74 87 89 102 11519 32 34 47 60 73 86 99 101 114 631 44 46 59 72 85 98 100 113 5 1843 45 58 71 84 97 110 112 4 17 3055 57 70 83 96 109 111 3 16 29 4256 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

${\displaystyle 4}$阶幻方算法的Java语言实现

 /** * @author: contribute to wikipedia according GNU * @description:用於創建4階的幻方 * */ public class magic_square_4m { 	/** 	 * @param args 	 */ 	static int  matrix; 	static int   n; 	static void magic_squre_4m_generate() 	{ 	  //初始化matrix 		matrix = new int; 	  //將matrix裡的位置用數順序排列 	  int ini = 0; 	  for(int i = 0; i < n; i++) 		  for(int j = 0; j < n; j++) 			  matrix = ++ini; 		 	  //輸出對調前的樣子 	  System.out.println("對調之前的樣子："); 	  print(); 	 	  //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷） 	  for(int i = 0; i < n; i++) 	      for(int j = i + 1; j < n; j++) 	      { 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) ) 	    	  {   //對不在主付對角線上的數關於中心對調 	    		  int temp; 	    		  temp = matrix; 	    		  matrix = matrix; 	    		  matrix = temp; 	    	  } 		  } 	} 	 	public static void print() 	{ 		for(int i = 0; i < n; i++) 		{ 			for(int j = 0; j < n; j++) 		    { 				System.out.print(matrix); 				System.out.print("_"); 		    } 			System.out.print("\n"); 		} 	} 	 	public static void main(String args) {         //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方	 		n = 4; 		magic_squre_4m_generate(); 		System.out.println("對調之後的樣子："); 		print(); 	} }

以下是本算法輸出的結果：

對調之前的樣子：1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_15_16_對調之後的樣子：1_15_14_4_12_6_7_9_8_10_11_5_13_3_2_16_

研究价值

知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。

对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论（英语：Computational group theory）的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。