首页 >
空集
✍ dations ◷ 2025-08-28 06:25:47 #空集
空集是不含任何元素的集合,数学符号为
∅
{displaystyle emptyset }
、
∅
{displaystyle varnothing }
或
{
}
{displaystyle {;}}
。空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小组创造,写作∅(
∅
{displaystyle varnothing }
),首先见于他们在1939年出版的《数学原本卷一:集合论》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。这符号也可写作
∅
{displaystyle emptyset }
,有时候采用近似字符“.mw-parser-output .sans-serif{font-family:-apple-system,BlinkMacSystemFont,"Segoe UI",Roboto,Lato,"Helvetica Neue",Helvetica,Arial,sans-serif}Ø”,也可以使用大括号
{
}
{displaystyle {;}}
表示。这符号源自北欧语言的拉丁字母“Ø”,但常被误会为希腊字母“φ”。(φ有两个写法:小写的
φ
{displaystyle varphi }
和缩小了的大写
ϕ
{displaystyle phi ,}
,后者常被误用为空集符号。
ϕ
{displaystyle phi ,}
的中间为一长竖,中间的圈也较小,与
∅
{displaystyle varnothing }
的斜线和大圆不同。)。提出用北欧字母为符号的,是布尔巴基小组成员安德烈·韦伊。他在自传写道:空集符号∅的Unicode编码为U+2205,TeX代码是emptyset或varnothing(后者是AMS符号,很多人较喜欢后者的字形)。(这里采用数学符号)。集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。考虑空集为实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为凡有限集合都是紧致的。空集的闭包是空集。根据定义,空集有0个元素,或者称其势为0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0被定义为空集。空集不是无;它是内部没有元素的集合,而集合就是有。这通常是初学者的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子──袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合
A
{displaystyle A}
的子集。按照子集的定义,这条性质是说
{
}
{displaystyle left{right}}
的每个元素x都属于
A
{displaystyle A}
。若这条性质不为真,那.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}{}中至少有一个元素不在
A
{displaystyle A}
中。由于
{
}
{displaystyle left{right}}
中没有元素,也就没有
{
}
{displaystyle left{right}}
的元素不属于
A
{displaystyle A}
了,得到
{
}
{displaystyle left{right}}
的每个元素都属于
A
{displaystyle A}
,即
{
}
{displaystyle left{right}}
是
A
{displaystyle A}
的子集。空集(作为集合)上的运算也可能使人迷惑。(这是一种空运算。)
例如:空集元素的和为0,而它们的积为1(见空积)。这可能看上去非常奇怪,空集中没有元素,他们是怎么相加和相乘的呢?
最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,而不是空集的。比如,可以注意到0是加法的单位元,而1是乘法的单位元。在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。使用分类公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若
A
{displaystyle A}
是集合,则分离公理允许构造集合
B
=
{
x
∈
A
|
x
≠
x
}
{displaystyle B=left{xin A|xneq xright}}
,它就可以被定义为空集。若A为集合,则恰好存在一个从
{
}
{displaystyle left{right}}
到
A
{displaystyle A}
的函数
f
{displaystyle f}
,即空函数。故此,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。尽管空集在数学中是一个标准,并被广泛接受,仍然有人对它表示怀疑。Jonathan Lowe认为,这一概念“无疑是数学历史上的里程碑,……;不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象”,但在另一方面,“我们所知的空集只是它 (1)是个集合,(2)没有元素,(3)在没有元素的集合中唯一。然而,有很多东西‘没有元素’,在集合论角度而言,叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的,因为它们不是集合。不清楚的是,为什么在集合中,没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。”在"To be is to be the value of a variable…",Journal of Philosophy,1984(在书Logic, Logic and Logic中再次发表)中,小George Boolos认为许多集合论中的结论,也可以透过对个体进行复数量化(英语:Plural quantification)来得到,所以无需把集合具体化为包含其他实体作为元素的实体。
相关
- 克林霉素克林霉素(国际非专利药品名称:Clindamycin /klɪndəˈmaɪsɨn/)是一种抗生素,可治疗中耳炎、骨骼或关节感染、骨盆腔发炎感染、链球菌咽炎、肺炎、心内膜炎等多种感染;有时也会
- 活性氧类活性氧类(英语:Reactive oxygen species,ROS),是生物有氧代谢过程中的一种副产品,包括氧离子、过氧化物和含氧自由基等。这些粒子相当微小,由于存在未配对的自由电子,而十分活跃。过
- 骨髓细胞髓细胞(myeloid,髓样)是指涉骨髓或脊髓的“粒细胞前体细胞”、或者骨髓或脊髓类似病症之形容词。例如,髓细胞白血病是起自骨髓的造血组织中异常的生长的一种白血病。在造血(Haema
- 中子中子(英语:Neutron)是一种电中性的粒子,具有略大于质子的质量。中子属于重子类,由两个下夸克、一个上夸克和用于在它们三者之间作用的胶子共同构成。夸克的静质量只贡献出大约1%
- 苯海索苯海索(英语:Trihexyphenidyl;或 英语:Benzhexol,亦称为三己芬迪或安坦)是一种主要用来减轻帕金森氏症的药物,属抗蕈毒碱药物。著名品牌有“Artane”,其锭剂在台湾的中文名为“阿丹
- 蒿甲醚蒿甲醚(英语:artemether)是一种用来治疗多药耐药恶性疟原虫疟疾的抗疟药。诺华首次以其与Riamet和Coartem为商品名出售其与本芴醇共同组成的复方药物。化学上,蒿甲醚是青蒿素的
- 国家医疗保障局社会保障基金:全国社会保障基金理事会国家医疗保障局,简称医保局,是中华人民共和国国务院主管医疗保障基金与医疗服务招标采购的副部级直属机构。国家医疗保障局主要负责拟订医
- 失认症失认症(英语:agnosia)是指由大脑受损而导致的认知障碍。患者在意识正常、无感觉障碍的情况下,对传入的感觉刺激缺乏认识能力,包括物体失认、相貌失认、听觉失认等。须注意的是,此
- 细胞外液细胞外液(英语:extracellular fluid,缩写:ECF)通常指位于细胞外的体液,包括血浆以及介于血管和组织细胞之间的组织间液,即组织液(包括淋巴)。细胞外液的总量大约占体重的20%,四分之一
- 先秦先秦,全称为先秦时期(又称先秦时代),是中国古代史中的一段时间,有指秦始皇焚书之前的一段时间,或更狭义专指历史上的春秋战国时期;也可作为秦朝以前(公元前221年以前)时代的统称,即上