欧几里得-欧拉定理

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:19:23 #数论

数学上,欧几里得-欧拉定理(英语:Euclid–Euler theorem)是一条联系偶完全数与梅森质数的定理。这定理指出每个偶完全数都可以写成2 − 1(2 − 1),其中2 − 1是质数。形如2 − 1的质数称为梅森质数,因此其中的必须是质数。

一个偶数是完全数(即等于它的所有真因数的和),当且仅当它有形式2−1,其中是梅森质数,即形为 = 2 − 1 的质数。

欧几里得证明当2 − 1是质数时,2 − 1(2 − 1)是完全数(Prop. IX.36)。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。

过了超过一千年后,约在公元1000年,海什木猜想所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1),但他未能证明。

直至18世纪,数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1)。因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应:每个偶完全数给出一个梅森质数,反之亦然。

欧拉的证明简短,用到因数总和函数 σ 是积性函数的性质:对任何两个互质正整数和,都有σ() = σ()σ()。要使这个公式成立,一个数的因数总和须包括该数本身,不只是真因数。一个数是完全数,当且仅当该数的因数总和是该数的两倍。

定理中一个方向(欧几里得所证明的)较为容易:如果2 − 1是质数,那么

至于另一个方向,设有偶完全数2,其中是奇数。它是完全数,故此

上式右边的奇因数2 + 1 − 1 至少等于3,且必定整除或等于左边唯一的奇因数,因此 = /(2 + 1 − 1) 是的真因数。将上式两边除以公因数2 + 1 − 1,并考虑已知有因数和,得出

要使等式成立,必需无其他因数,因此必定等于1,必定是形为2 + 1 − 1的质数。定理得证。

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