欧几里得-欧拉定理

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:56:20 #数论

数学上,欧几里得-欧拉定理(英语:Euclid–Euler theorem)是一条联系偶完全数与梅森质数的定理。这定理指出每个偶完全数都可以写成2 − 1(2 − 1),其中2 − 1是质数。形如2 − 1的质数称为梅森质数,因此其中的必须是质数。

一个偶数是完全数(即等于它的所有真因数的和),当且仅当它有形式2−1,其中是梅森质数,即形为 = 2 − 1 的质数。

欧几里得证明当2 − 1是质数时,2 − 1(2 − 1)是完全数(Prop. IX.36)。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。

过了超过一千年后,约在公元1000年,海什木猜想所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1),但他未能证明。

直至18世纪,数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1)。因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应:每个偶完全数给出一个梅森质数,反之亦然。

欧拉的证明简短,用到因数总和函数 σ 是积性函数的性质:对任何两个互质正整数和,都有σ() = σ()σ()。要使这个公式成立,一个数的因数总和须包括该数本身,不只是真因数。一个数是完全数,当且仅当该数的因数总和是该数的两倍。

定理中一个方向(欧几里得所证明的)较为容易:如果2 − 1是质数,那么

至于另一个方向,设有偶完全数2,其中是奇数。它是完全数,故此

上式右边的奇因数2 + 1 − 1 至少等于3,且必定整除或等于左边唯一的奇因数,因此 = /(2 + 1 − 1) 是的真因数。将上式两边除以公因数2 + 1 − 1,并考虑已知有因数和,得出

要使等式成立,必需无其他因数,因此必定等于1,必定是形为2 + 1 − 1的质数。定理得证。

相关

  • 福利经济学福利经济学(英语:welfare economics)是对经济体系的规范性分析,即经济运行中什么是“对”、什么是“错”等问题的研究。福利经济学在简单的自利人性的假设下,设定评价人类行为效
  • 美式中国菜美式中国菜(英语:American Chinese cuisine)是在美利坚合众国创造的中国菜。其中,美式中国菜与中国菜最大的不同是烹饪和调味方式的改变。在19世纪,有中国人在美国在小村庄里开设
  • 海洋行星海洋行星(英语:Ocean planet)是一类假定存在的系外行星,其表面完全为液态水构成的海洋所覆盖,而没有陆地或岛屿。在外太阳系中形成的行星,其最初的物质构成类似于彗星,包括质量近乎
  • 台风辛乐克超强台风森垃克超强台风森垃克(英语:Typhoon Sinlaku,国际编号:0813,JTWC编号:15W,菲律宾大气地理天文部门名称:Marce)是2008年太平洋台风季的一个热带气旋。“森垃克”是密克罗尼西
  • 硫化亚铕硫化亚铕是一种无机化合物,化学式为EuS。它是黑色粉末,在空气中稳定。在硫化亚铕中,铕的价态为+2价,而镧系元素通常显+3价。硫化亚铕的居里温度为16.6 K,在此温度之下是铁磁性固
  • 赖神甫赖神甫 (法语:Père Jean Marie Delavay,1834年12月28日-1895年12月31日)有时译作德洛维,法国传教士、探险家、植物学家。他是耶稣会成员,并于1867年被派至中国,首先在广东活动,后于
  • 伊万·安德烈亚迪斯伊万·安德烈亚迪斯(捷克语:Ivan Andreadis,1924年4月3日-1992年10月27日),捷克斯洛伐克男子乒乓球运动员。他曾获得9枚世界乒乓球锦标赛金牌。1926: 雅各比 / 佩奇  · 1928: 利
  • 田夏礼田夏礼(Charles Denby Jr.1861年11月14日-1938年2月15日),美国印第安纳人,外交官,深谙中国语言和文化,曾任职于中国和奥地利维也纳。1885年,田夏礼随父前来中国。中日甲午战争期间,多
  • 薛天华薛天华(?-?),字思素,福建泉州府晋江县人,民籍,明朝政治人物,嘉靖庚戌进士,官至广东右布政使。福建乡试第四十九名。嘉靖二十九年(1550年)中式庚戌科进士。授南京刑部主事。杨继盛被严嵩害
  • 娜塔莉亚·罗蒙丝娜塔莉亚·诺拉·罗蒙丝·科恩(英语:Nathalia Norah Ramos Cohen;1992年7月3日-),又简称“娜塔莉亚·罗蒙丝”,是西班牙裔美国女演员,她最被最众人所熟知的是电影是2007年的《校园小