数学上，欧几里得-欧拉定理（英语：Euclid–Euler theorem）是一条联系偶完全数与梅森质数的定理。这定理指出每个偶完全数都可以写成2 − 1(2 − 1)，其中2 − 1是质数。形如2 − 1的质数称为梅森质数，因此其中的必须是质数。
一个偶数是完全数（即等于它的所有真因数的和），当且仅当它有形式2−1，其中是梅森质数，即形为 = 2 − 1 的质数。
欧几里得证明当2 − 1是质数时，2 − 1(2 − 1)是完全数（Prop. IX.36）。这是他的《几何原本》中数论的最后一条结果。
过了超过一千年后，约在公元1000年，海什木猜想所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1)，但他未能证明。
直至18世纪，数学家欧拉始证明所有偶完全数都有形式2 − 1(2 − 1)。因此确定偶完全数和梅森质数之间存在一一对应：每个偶完全数给出一个梅森质数，反之亦然。
欧拉的证明简短，用到因数总和函数 σ 是积性函数的性质：对任何两个互质正整数和，都有σ() = σ()σ()。要使这个公式成立，一个数的因数总和须包括该数本身，不只是真因数。一个数是完全数，当且仅当该数的因数总和是该数的两倍。
定理中一个方向（欧几里得所证明的）较为容易：如果2 − 1是质数，那么
至于另一个方向，设有偶完全数2，其中是奇数。它是完全数，故此
上式右边的奇因数2 + 1 − 1 至少等于3，且必定整除或等于左边唯一的奇因数，因此 = /(2 + 1 − 1) 是的真因数。将上式两边除以公因数2 + 1 − 1，并考虑已知有因数和，得出
要使等式成立，必需无其他因数，因此必定等于1，必定是形为2 + 1 − 1的质数。定理得证。
