泊松括号

✍ dations ◷ 2025-07-08 16:30:43 #哈密顿力学,辛几何,二元运算,双线性算子

在数学及经典力学中,泊松括号是哈密顿力学中重要的运算,在哈密顿表述的动力系统中时间演化的定义起着中心角色。在更一般的情形,泊松括号用来定义一个泊松代数,而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。

在正则坐标 ( q i , p j ) {\displaystyle (q_{i},p_{j})} 的演化可用辛同胚单参数族给出,以时间为参数。丢掉坐标系,我们有

算子 { H , } {\displaystyle -\{\,H,\cdot \,\}} 是一个辛流形,即流形上带有一个辛形式(闭的非退化2-形式): ω {\displaystyle \omega } 上内蕴的外导数运算,而 i ξ θ {\displaystyle i_{\xi }\theta } 上流形结构。

如果使得 d ( i v ω ) = 0 {\displaystyle d(i_{v}\omega )=0} 成立,我们称 ω {\displaystyle \omega } 和都余闭时,表达式中惟一非零项是 d ( i v i w ω ) {\displaystyle d(i_{v}i_{w}\omega )} 上光滑向量场李代数的一个子代数,而余恰当向量场组成这个子代数的一个代数理想。

假设存在逆映射 ω ~ {\displaystyle {\tilde {\omega }}} 上每个光滑实值函数可以与一个余恰当向量场相伴 ω ~ ( d f ) {\displaystyle {\tilde {\omega }}(df)} 的核,即在的任何连通分支上是常数)。这样我们定义 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 的泊松括号 { f , _ } {\displaystyle \{f,\_\}} 和的泊松括号消失( { f , g } = 0 {\displaystyle \{f,g\}=0} 与称为互相对合(mutual involution),并有关于和取泊松括号的运算交换。

泊松括号是反交换的,也满足雅可比恒等式。这使得辛流形上的光滑函数空间成为无限维的李代数,以泊松括号为李括号。相应的李群是辛流形的辛同胚群(也称为正则变换)。

给定一个可微切丛上的向量场,令 P X {\displaystyle P_{X}} 点的向量场为

其中 / q i {\displaystyle \partial /\partial q^{i}} 的共轭动量的表达式为

这里 p i {\displaystyle p_{i}} 为和坐标共轭的动量函数。这样就有,对相空间的每点 ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}

以上对所有 ( q , p ) {\displaystyle (q,p)} 成立,证毕。

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