泊松括号

在数学及经典力学中，泊松括号是哈密顿力学中重要的运算，在哈密顿表述的动力系统中时间演化的定义起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。

在正则坐标${\displaystyle (q_i,p_j)}$的演化可用辛同胚单参数族给出，以时间为参数。丢掉坐标系，我们有

算子${\displaystyle -<!--\; -\; -->\{H,\cdot <!--\; \cdot \; -->\}}$是一个辛流形，即流形上带有一个辛形式（闭的非退化2-形式）：${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$上内蕴的外导数运算，而${\displaystyle i_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$上流形结构。

如果使得${\displaystyle d(i_v\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=0}$成立，我们称 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$和都余闭时，表达式中惟一非零项是${\displaystyle d(i_v{i}_w\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$上光滑向量场李代数的一个子代数，而余恰当向量场组成这个子代数的一个代数理想。

假设存在逆映射${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}$上每个光滑实值函数可以与一个余恰当向量场相伴${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}(df)}$的核，即在的任何连通分支上是常数）。这样我们定义${\displaystyle (M,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$的泊松括号${\displaystyle \{f,\mathrm{\_<!--\; \_\; -->}\}}$和的泊松括号消失（${\displaystyle \{f,g\}=0}$与称为互相对合（mutual involution），并有关于和取泊松括号的运算交换。

泊松括号是反交换的，也满足雅可比恒等式。这使得辛流形上的光滑函数空间成为无限维的李代数，以泊松括号为李括号。相应的李群是辛流形的辛同胚群（也称为正则变换）。

给定一个可微切丛上的向量场，令${\displaystyle P_X}$点的向量场为

其中${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}$的共轭动量的表达式为

这里${\displaystyle p_i}$为和坐标共轭的动量函数。这样就有，对相空间的每点${\displaystyle (q,p)}$，

以上对所有${\displaystyle (q,p)}$成立，证毕。