无穷小变换

✍ dations ◷ 2025-09-19 00:05:49 #李群

数学里,无穷小变换是小变换的一个无穷小极限。例如我们可以谈论三维空间中一个刚体的无穷小旋转。这通常由一个 3×3 反对称矩阵 表示。它不是空间中的实际旋转;但是对一个小参数 ε,我们有

与小旋转之差只是 ε2 阶量。

无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心;以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。一个抽象李群的性质正是无穷小变换的那些限定,正如群论的公理实现了对称。

例如,在无穷小旋转情形,将一个反对称矩阵与一个三维向量等同,则李代数结构由叉积给出。这相当于选取旋转的一个轴;雅可比恒等式是叉积一个熟知的性质。

无穷小变换最早的例子可能认为出现于齐次函数的欧拉定理中。它断言 个变量 1, ..., 的一个度数为 的齐次函数 ,满足

其中

是一个微分算子。这是由性质

我们可对 λ 微分,然后取 λ 等于 1。这是光滑函数 有齐次性质的一个必要条件;这也是充足的(通过利用施瓦兹分布我们简化这里考虑的数学分析)。在我们有一个缩放算子的单参数子群时这个过程是典型的;变换的信息事实上包含于一阶微分算子无穷小变换中。

算子方程

这里

是泰勒定理的一个算子版本,从而只对 是一个解析函数成立。集中于算子部分,它实际上说明 是一个无穷小变换,通过指数生成在实直线上的平移。在李理论中,这推广得很远。任何连通空间李群可由它的无穷小生成元(这个群李代数的一个基)构造出来;贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式中给出了清晰不过未必总有用的信息。

相关

  • 迈锡尼文明迈锡尼文明(英语:Mycenaean Greece 法文: Civilisation mycénne,前1600年 – 前1100年) 是希腊青铜时代晚期的文明,它由伯罗奔尼撒半岛的迈锡尼城而得名。这是古希腊青铜器时代
  • Der Doktor Schnabel von Rom瘟疫医生(Plague doctor)是中世纪时期负责治疗黑死病患者的医师。当时流行病肆虐严重的欧洲城镇往往会自行聘雇这些医师来减缓瘟疫扩散的状况。他们的薪资是由城镇政府支付的,
  • 迪奥克丽丝汀·迪奥(法语:Christian Dior),简称迪奥(Dior),是源自法国的国际奢侈品品牌,由法国时装设计师克丽丝汀·迪奥于1946年创立,总部位于巴黎。主要经营时装、配饰、香水、化妆品、
  • 约瑟夫·博伊斯约瑟夫·博伊斯(德语:Joseph Beuys,1921年5月12日-1986年1月23日)是著名的德国行为艺术家,其作品包括各种雕塑、行为艺术,信奉人人都可以是艺术家的观点。代表作如《如何向死兔子讲
  • 国立传统艺术中心国立传统艺术中心(简称传艺中心),为中华民国文化部所属三级附属机构,主要任务为统筹、规划、推动台湾传统艺术的调查、保存、传习及推广工作,辖下拥有三个派出单位:国光剧团、台湾
  • 火化证《火化证》为中华人民共和国推广火化政策后规定的遗体火化证明,在领取抚恤金等时必须提供。凡在规定的火葬区内死亡人员应当火化,殡仪馆需开具火化证以供社保机构或者有关单位
  • 那年夏天,宁静的海《那年夏天,宁静的海》(日语:あの夏、いちばん静かな海,英语:)是一部由北野武导演的于1991年发行的日本电影。这部电影与北野武先前的作品有所不同,片中没有警察和黑帮。但是他之后
  • 广告杂志广告杂志是一种电视节目的类型,为将一段约10分钟的电视广告当成电视节目播出。不同于电视购物的节目,广告杂志的广告特质较为明显。电视台一般也不会将台征显示出来或为其配上
  • 胡道才胡道才(1962年9月-),男,汉族,江苏沭阳人,1985年毕业于南京大学法律系法律专业,中华人民共和国政治人物,中国共产党党员‎,第十三届全国人民代表大会河南省代表。1997年12月,任沭阳县人
  • 狄龙·弗朗西斯狄龙·哈特·弗朗西斯(英语:Dillon Hart Francis,1987年10月5日-),出生于加利福尼亚州洛杉矶,美国知名电子音乐人、唱片制作人兼DJ。