庞加莱复现定理

物理学上，庞加莱复现定理断言，对于某类系统而言，只要经过充分长（但有限）的时间，定必返回某个与初始态任意接近的状态（若该系统具连续的状态），或者定必返回初始态本身（若该系统离散）。

庞加莱复现时间是复现前经过的时长。视乎不同的初始态和不同的要求接近的程度，此时间可长可短。定理仅适用于满足某些条件的孤立力学系统，例如所有粒子都必须约束在某个有限体积的范围内。定理可以放在遍历理论、动态系统，或者统计力学的背景中讨论。适用此定理的系统称为守恒系统（英语：conservative system）（与耗散系统相对）。

定理得名自亨利·庞加莱，其于 1890 年讨论过此定理。1919 年，康斯坦丁·卡拉西奥多里利用测度论证明了此定理。

对于任何一个由常微分方程式定义的动态系统，都有相应的流映射  ，而对每个固定的 （可当成时间）,   皆是由该系统的相空间射去相空间本身的映射。若相空间中，每个可以计算体积（称为相体积）的子集，都在流中保持体积，则称该系统保体积。例如，根据刘维尔定理，所有哈密顿系统皆保体积。

有了上述的背景之后，可以将定理叙述如下：若流保体积，且其所有轨道 (动力学)（英语：Orbit (dynamics)）皆有界，则对于相空间中每个开集，都有轨道与之相交无穷多次。

定性理解，证明的关键在于两个前提：

取相空间中任意一块体积有限的起始区域，其按照系统的动态而移动，“扫过”相空间的一部分点。由于该区域的体积在过程中保持不变，其扫过的总体积（称为相管，phase tube）理应随时间线性增加（至少在起始不久后如此）。然而，由于可达的相空间总体积有限，相管的体积会达到某个饱和值，而不能一直增加，否则终会大于可达的总相体积。这正说明，相管必与自身相交。倘若要与自身相交，则必须先经过起始的区域。所以，起始体积中至少有体积非零的一部分复现（recur)。

此时，考虑起始区域中永不返回的部分。按上段的论证，若该部分的体积非零，则其必有体积非零的部分复现，但若永不返回的部分中，有一部分复现，则后者亦必返回到原始区域内，造成矛盾。 所以，起始区域中永不返回的部分体积只能为零，即与起始区域相比是极小。

注意定理（并其证明）并不保证复现的若干性质：

设

为总测度有限的测度空间，并设

为保测函数，即其可测，且对任意的可测子集 ${\displaystyle A\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$ 大于 ${\displaystyle T_0,}$ 的态向量。

证明的关键如下。系统的状态按下式随时间变化：

其中 ${\displaystyle E_n}$ =  截尾，而 不取决于 , 因为

${\displaystyle \underset{n=N+1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|c_n{|}^2\le <!--\; \le \; -->2\underset{n=N+1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|c_n{|}^2,}$, 而使之任意小。取任意的 ${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0,}$, 使得对于 ${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->n\le <!--\; \le \; -->N,}$, 有

于是，

亦即态向量 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(T)⟩<!--\; ⟩\; -->}$