庞加莱复现定理

✍ dations ◷ 2025-07-25 12:51:01 #动力系统,遍历理论,统计力学

物理学上,庞加莱复现定理断言,对于某类系统而言,只要经过充分长(但有限)的时间,定必返回某个与初始态任意接近的状态(若该系统具连续的状态),或者定必返回初始态本身(若该系统离散)。

庞加莱复现时间是复现前经过的时长。视乎不同的初始态和不同的要求接近的程度,此时间可长可短。定理仅适用于满足某些条件的孤立力学系统,例如所有粒子都必须约束在某个有限体积的范围内。定理可以放在遍历理论、动态系统,或者统计力学的背景中讨论。适用此定理的系统称为守恒系统(英语:conservative system)(与耗散系统相对)。

定理得名自亨利·庞加莱,其于 1890 年讨论过此定理。1919 年,康斯坦丁·卡拉西奥多里利用测度论证明了此定理。

对于任何一个由常微分方程式定义的动态系统,都有相应的流映射  ,而对每个固定的 (可当成时间),   皆是由该系统的相空间射去相空间本身的映射。若相空间中,每个可以计算体积(称为相体积)的子集,都在流中保持体积,则称该系统保体积。例如,根据刘维尔定理,所有哈密顿系统皆保体积。

有了上述的背景之后,可以将定理叙述如下:若流保体积,且其所有轨道 (动力学)(英语:Orbit (dynamics))皆有界,则对于相空间中每个开集,都有轨道与之相交无穷多次。

定性理解,证明的关键在于两个前提:

取相空间中任意一块体积有限的起始区域,其按照系统的动态而移动,“扫过”相空间的一部分点。由于该区域的体积在过程中保持不变,其扫过的总体积(称为相管,phase tube)理应随时间线性增加(至少在起始不久后如此)。然而,由于可达的相空间总体积有限,相管的体积会达到某个饱和值,而不能一直增加,否则终会大于可达的总相体积。这正说明,相管必与自身相交。倘若要与自身相交,则必须先经过起始的区域。所以,起始体积中至少有体积非零的一部分复现(recur)。

此时,考虑起始区域中永不返回的部分。按上段的论证,若该部分的体积非零,则其必有体积非零的部分复现,但若永不返回的部分中,有一部分复现,则后者亦必返回到原始区域内,造成矛盾。 所以,起始区域中永不返回的部分体积只能为零,即与起始区域相比是极小。

注意定理(并其证明)并不保证复现的若干性质:

为总测度有限的测度空间,并设

为保测函数,即其可测,且对任意的可测子集 A Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 大于 T 0 , {\displaystyle T_{0},} 的态向量。

证明的关键如下。系统的状态按下式随时间变化:

其中 E n {\displaystyle E_{n}}  =  截尾,而 不取决于 , 因为

n = N + 1 | c n | 2 2 n = N + 1 | c n | 2 , {\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},} , 而使之任意小。取任意的 δ > 0 , {\displaystyle \delta >0,} , 使得对于 0 n N , {\displaystyle 0\leq n\leq N,} , 有

于是,

亦即态向量 | ψ ( T ) {\displaystyle |\psi (T)\rangle }

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