差分

差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数   f ( x ) {displaystyle f(x)} 映射到   f ( x + a ) − f ( x + b ) {displaystyle f(x+a)-f(x+b)} 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。差分分为前向差分和逆向差分。函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数   f ( x ) {displaystyle f(x)} ，如果在等距节点：则称   Δ f ( x ) {displaystyle Delta f(x)} ，函数在每个小区间上的增量 y k + 1 − y k {displaystyle y_{k+1}-y_{k}} 为   f ( x ) {displaystyle f(x)} 一阶差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当   f ( x ) {displaystyle f(x)} 是多项式时，前向差分为Delta算子（称 Δ {displaystyle Delta } 为差分算子），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。对于函数   f ( x k ) {displaystyle f(x_{k})} ，如果：则称   ∇ f ( x k ) {displaystyle nabla f(x_{k})} 为   f ( x ) {displaystyle f(x)} 的一阶逆向差分。一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：Δ n [ f ] ( x ) {displaystyle Delta ^{n}(x)} 为   f ( x ) {displaystyle f(x)} 的   n {displaystyle n} 阶差分。如果根据数学归纳法，有其中，   ( n i ) {displaystyle {n choose i}} 为二项式系数。特别的，有前向差分有时候也称作数列的二项式变换对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：牛顿插值公式也叫做牛顿级数，由“牛顿前向差分方程”的项组成，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。当x值间隔为单位步长1时，有：这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。这里的表达式是二项式系数，其中的(x)k是“下降阶乘幂”，空积(x)0被定义为1。这里的Δk(x)是“前向差分”的特定情况，即间距h=1。为了展示牛顿的这个公式是如何使用的，举例数列 1, 4, 9,16...的前几项，可以找到一个多项式重新生成这些值，首先计算一个差分表，接着将对应于x0（标示了下划线）的这些差分代换入公式，对于x值间隔为非一致步长的情况，牛顿计算均差，在间隔一致但非单位量时，即上述前向差分的一般情况，插值公式为：在最终公式中hk被消去掉了，对于非一致步长的情况则不会出现阶乘。