非互补欧拉商数

✍ dations ◷ 2025-04-29 05:50:56 #整数数列

非互补欧拉商数(noncototient)是指一个正整数,不存在任一个整数使下式成立:

其中 φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} 可以表示为二个相异质数及的和,则

依照哥德巴赫猜想,所有大于6的偶数都可以表示为二个相异质数及的和,此偶数减1所得的奇数就是的互补欧拉商数,因此很可能所有大于5的奇数都是互补欧拉商数,而未考虑到的奇数有1,3,5,而 1 = 2 ϕ ( 2 ) , 3 = 9 ϕ ( 9 ) {\displaystyle 1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)} , 5 = 25 ϕ ( 25 ) {\displaystyle 5=25-\phi (25)} ,这些数也都是互补欧拉商数,因此很可能所有的非互补欧拉商数均为偶数。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有无限多个非互补欧拉商数,后来Browkin和Schinzel在1995年证实此一猜想,他们证明无穷数列 2 k 509203 {\displaystyle 2^{k}\cdot 509203} 的每一项都是非互补欧拉商数,Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的范例。

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