非互补欧拉商数

✍ dations ◷ 2025-09-15 18:11:40 #整数数列

非互补欧拉商数（noncototient）是指一个正整数，不存在任一个整数使下式成立：

其中 $\varphi (m)$ 可以表示为二个相异质数及的和，则

依照哥德巴赫猜想，所有大于6的偶数都可以表示为二个相异质数及的和，此偶数减1所得的奇数就是的互补欧拉商数，因此很可能所有大于5的奇数都是互补欧拉商数，而未考虑到的奇数有1,3,5，而 $1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)$ $1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)$ , $5=25-\phi (25)$ $5=25-\phi (25)$ ，这些数也都是互补欧拉商数，因此很可能所有的非互补欧拉商数均为偶数。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有无限多个非互补欧拉商数，后来Browkin和Schinzel在1995年证实此一猜想，他们证明无穷数列 $2^{k}\cdot 509203$ $2^{k}\cdot 509203$ 的每一项都是非互补欧拉商数，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的范例。

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