莫雷角三分线定理

在欧几里得几何中，莫雷角三分线定理（Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。

此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角。

由三倍角公式及和差公式可得出：

在${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$中：

作6条角三分线分别为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BX}}$、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{XC}}$、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CY}}$、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{YA}}$、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AZ}}$、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{ZB}}$，作${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$在${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$上，且${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{XD}}$、${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BXE=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CXF={60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$

容易得出${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}={60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$，由此等式还可以得出以下三式：

由正弦定理可得出：

从这里可以得出${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}XEF}$的三个内角，计算出${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}XEF}$和${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}XFE}$的正弦值：

我们知道：

从引理我们可以得出：

化简后得出：

因为${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}XEF}$和${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}AYZ}$相似，所以可得出：

同理可得出：

综合以上结果，可得出${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}XZY=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}XYZ={60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$，因此${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}XYZ}$是等边三角形

更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表，将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°，其交点共可得出27个不同的等边三角形。