光滑数

光滑数（smooth number），或译脆数:ix，是一个可以约数分解为小素数乘积的正整数。光滑数一词是是伦纳德·阿德曼所提出。光滑数在以约数分解为基础的密码学中扮演重要角色。

若一正整数的素因数均不大于B，此整数即为B-光滑数。例如1620的约数分解为22 × 34 × 5，素因数均不大于5，因此1620是5-光滑数。

10和12的约数分解分别为2 × 5和22 × 3，二者素因数也都不大于5，因此二者均是是5-光滑数，虽然其素因数未包括不大于5的所有素数，但仍然可以是5-光滑数。

5-光滑数常称为正规数或汉明数（Hamming numbers）。7-光滑数有时会称为“谦虚数”或“高合成数”，不过后者会和以约数个数来定义的高合成数混淆。

B-光滑数的B不一定要是素数，例如上述举例的10和12不但是5-光滑数，也是6-光滑数（素因数都不大于6）。一般而言会选择B为素数的B-光滑数，但B也可以是合数。一正整数为B-光滑数当且仅当正整数为p-光滑数，且p是小于等于B的最大素数。

有些快速傅里叶变换算法中会用到光滑数，例如库利－图基快速傅里叶变换算法会将问题一直分解为较小的问题，其大小为原问题大小的约数，若原问题大小是原问题大小，原问题可以分解为许多很小的问题，此情形有有快速的算法，若大小是较大的素数，就要应用像是Chirp-Z 转换之类效率较差的算法。

5-光滑数〈或称为正规数〉在巴比伦数学中有重要的角色，在音乐理论中也很重要。有一个函数编程语言的问题就是要产生正规数。

密码学中也有应用光滑数。虽然大部分的密码学都会用到密码分析（已知最快的约数分解算法），但VSH（英语：Very smooth hash）杂凑函数利用光滑数来取得可证安全加密散列函数（英语：Provably secure cryptographic hash function）。

令${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,y)}$的-光滑数的个数（de Bruijn函数）。

若为定值且数值很小，可以用下式估计${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,B)}$= log  / log ：因此， = ，则：

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(u)}$的素数幂次 ${\displaystyle p_i^{n_i}}$为-幂次光滑数：

例如，243251为5-光滑数，但不是5-幂次光滑数。因为其最大的素数幂次为24，该数为16-幂次光滑数，也是17-幂次光滑数，18-幂次光滑数……。

数论中有用到-光滑数及-幂次光滑数。例如波拉德p-1算法（英语：Pollard's p − 1 algorithm），这类算法一般会应用在光滑数中，但不会特别标示光滑数的是多少。此时的需是一个较小的整数，若增加，算法的效率就会迅速的变差。例如计算离散对数的Pohlig–Hellman算法（英语：Pohlig–Hellman algorithm）的时间复杂度是O(1/2)。

整数数列线上大全（OEIS）中有包括以下B较小的B-光滑数：