泛函分析

✍ dations ◷ 2025-07-31 11:10:47 #泛函分析
泛函分析(英语:Functional Analysis)是现代数学分析的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。使用泛函这个词作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数,这意味着,一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而,泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家维多·沃尔泰拉(Vito Volterra)介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究,特别是莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet)可和列维(Levy)。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派,并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach)的波兰数学家群体(英语:Lwów School of Mathematics)进一步发展。从现代观点来看,泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*-代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间(Hilbert)可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为 ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} )上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。一般的巴拿赫空间(Banach)比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基。对于每个实数 p {displaystyle p} ,如果 p ≥ 1 {displaystyle pgeq 1} ,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的 p {displaystyle p} 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间)在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。泛函分析的主要定理包括:泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基,必须要使用佐恩引理(Zorn's Lemma)。此外,泛函分析中大部分重要定理都构建于哈恩-巴拿赫定理的基础之上,而该定理本身就是选择公理(Axiom of Choice)弱于布尔素理想定理(Boolean prime ideal theorem)的一个形式。泛函分析目前包括以下分支:

相关

  • 内华达州内华达州(英语:State of Nevada),简称内州,是美国西部的一个州,以其发达的赌博业而著称。该州的邮政缩写是NV。“内华达”来源于西班牙语,意思是“被雪覆盖”,原本是用来形容该州西
  • 可乐定可乐定(英语:Clonidine)(商品名称为:Catapres, Kapvay, Nexiclon, Clophelin等),是一种用来治疗高血压、注意力缺陷多动障碍、焦虑症、抽动综合症、偏头痛、“酒精、鸦片、尼古丁的
  • 对乙酰氨基酚中毒对乙酰氨基酚中毒(英语:Paracetamol toxicity)由过量服用止痛药对乙酰氨基酚导致,主要导致肝损伤,对乙酰氨基酚也是全球主要的中毒原因之一。在美国和英国,其是导致急性肝衰竭的最
  • 拓朴异构酶拓扑异构酶(英语:Topoisomerase;type I:EC 5.99.1.2,type II:EC 5.99.1.3)是一种异构酶,能使DNA长链断裂与接合。专门参与DNA拓扑构形(DNA topology)改变的过程,最早的发现者是出身台湾
  • span style=font-style: italic; color: #48A3B5;亚得里亚海/span亚得里亚海(意大利语:Mar Adriatico,斯洛文尼亚语:Jadransko morje,克罗地亚语:Jadransko more,阿尔巴尼亚语:Deti Adriatik),是地中海的一部分水域,分隔了意大利半岛(亚平宁半岛)和巴尔
  • 纽约州锡拉丘兹锡拉丘兹(英语:Syracuse),或译雪拉古兹、 雪城,是位于美国纽约上州中部的城市,属于纽约州奥农达加县所辖。雪城译名可能为音意合译,因当地位于安大略湖畔而降雪丰沛,而英文名称来自
  • 交钞,或称钞,是中国金朝和元朝政府发行并且广泛流通的纸币。金代海陵王时开始使用交钞。起初交钞是汇票,用于送钱到异地。商人远行时不必携带较重的铜钱,他们用铜钱买钞,日后交手
  • 玻璃纤维强化塑胶玻璃钢(英语:fiberglass),亦称纤维增强塑料(英语:fiber-reinforced plastic,FRP),是一种以高分子量的环氧树脂或不饱和聚酯树脂为基质,铝硼硅酸盐玻璃纤维(alumino-borosilicate glass
  • 小头症小头畸形(Microcephaly),又称小头症,是一种神经发育障碍(neurodevelopmental disorder),它指的是一个人的头围相对于其年龄与性别的平均值小三个标准差以上的状况。小头畸形可能是
  • 刑事鉴识学刑事鉴识学的定义为应用自然科学的知识与方法,对于证物予以鉴定、个化、评估,用以重建犯罪现场,提供侦查方向及法院判定刑期参考依据的学问。中国《三国志》吴书中记载了一项鉴