T-标准化

✍ dations ◷ 2025-07-05 05:53:10 #T-标准化

在统计学中,对一个样本统计量进行t-标准化(studentization,或直译为“学生化”)一般是指将其中心化之后,除以自身的标准差的变换方式。

广义的t-标准化,是指用其他样本矩来除该统计量。

t-标准化与标准化(standarization)最重要的区别是,标准化用真实的总体参数作除数,而t-标准化用可以观测到的样本统计量作除数。一般而言,标准化需要假设较多的已知信息。

例如,在估计正态分布 N ( μ , σ 2 ) {displaystyle N(mu ,sigma ^{2})} 的位置参数 μ {displaystyle mu } 时,常用尺度参数 σ {displaystyle sigma } 的估计量来t-标准化位置参数的估计量,即:

其中 S {displaystyle S} 是样本方差,注意应该用 S / n {displaystyle S/{sqrt {n}}} 整体(又称“标准误差”)而不是 S {displaystyle S} 来估计 X ¯ {displaystyle {bar {X}}} 的标准差。在这个例子里,如果对 E {displaystyle mathbb {E} } 进行估计,并估计量的立方根代替 T {displaystyle T} 之表达式中的 S / n {displaystyle S/{sqrt {n}}} ,那么就做成一个广义的t-标准化。如果用真实的 σ {displaystyle sigma } 代替 S {displaystyle S} ,那么就做成一个标准化。

分母的平方是对 V a r ( θ ^ ) {displaystyle {mathrm {V} ar}({hat {theta }})} 的良好估计,这个估计一般不容易得到,通行的做法是用一个经过仔细设计的重抽样方法做这个方差估计,例如Bootstrap、Jackknife等。

t-标准化具有以下重要意义:

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