U-统计量

✍ dations ◷ 2025-04-26 17:13:40 #U-统计量

U-统计量是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量,它在估计理论中扮演重要角色。名称中的“ U”为无偏(unbiased)之意。在初等统计学中,U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。

U-统计量的一个重要性是,对概率分布来说,其可估计参数的最小方差无偏估计量 是一个U-统计量。 因此通过研究U-统计量的一般性质,可以系统地了解这些估计量的统计学性质。

U-统计量在非参数统计中尤其重要,不少用于估计和统计检验的统计量,在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性,这方便了基于它的统计推断。 近年来,U-统计量在研究复杂的随机过程和随机网络类型数据的随机性质方面,发挥了作用。

目前,统计学家们对U-统计量性质的了解,几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文。在这篇论文里,Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解。

定义 h ( x 1 , , x r ) : R r R {displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r}):mathbb {R} ^{r}to mathbb {R} } 为一个函数,其具有对称性,即交换任意 x i , x j {displaystyle x_{i},x_{j}} 的位置, h {displaystyle h} 的值保持不变。对随机变量 X 1 , , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} ,基于 h {displaystyle h} 的U-统计量定义如下:

这里, h ( ) {displaystyle h(cdot )} 称为U-统计量的核函数(Kernel function),而核函数的维数 r {displaystyle r} 称为该U-统计量的度(degree)。

定义 h ( x 1 , , x r ; y 1 , , y s ) : R r + s R {displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r};y_{1},ldots ,y_{s}):mathbb {R} ^{r+s}to mathbb {R} } 为一个函数,其对 X {displaystyle X} Y {displaystyle Y} 分别具有对称性,即交换任意 x i 1 , x i 2 {displaystyle x_{i_{1}},x_{i_{2}}} 的位置或交换任意 y j 1 , y j 2 {displaystyle y_{j_{1}},y_{j_{2}}} 的位置, h {displaystyle h} 的值保持不变(但不能随意交换 x i , y j {displaystyle x_{i},y_{j}} )。对随机变量 X 1 , , X m ; Y 1 , , Y n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{m};Y_{1},ldots ,Y_{n}} ,基于 h {displaystyle h} 的两样本U-统计量定义如下:

目前在机器学习中,最常见的情形是 r = s = 1 {displaystyle r=s=1} ,例如能量距离和最大平均差异(MMD)。

Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。为表述该定理,定义: μ = E {displaystyle mu =mathbb {E} } 。对所有 1 k r {displaystyle 1leq kleq r} ,定义投影函数:

a k ( x 1 , , x k ) = E μ {displaystyle a_{k}(x_{1},ldots ,x_{k})=mathbb {E} -mu }

然后定义正交化投影函数:

g 1 ( x 1 ) = a 1 ( x 1 ) {displaystyle g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})} g 2 ( x 1 , x 2 ) = a 2 ( x 1 , x 2 ) g 1 ( x 1 ) g 2 ( x 2 ) {displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})} ,等等,每一个 g k {displaystyle g_{k}} 都定义为相应的 a k {displaystyle a_{k}} 减去之前定义过的所有 g 1 , , g k 1 {displaystyle g_{1},ldots ,g_{k-1}} ,直至最后一个函数 g r {displaystyle g_{r}}

g r ( x 1 , , x r ) = a r ( x 1 , , x r ) j = 1 r 1 1 i 1 < < i j r g j ( x i 1 , , x i j ) {displaystyle g_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})=a_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})-sum _{j=1}^{r-1}sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{j}leq r}g_{j}(x_{i_{1}},ldots ,x_{i_{j}})}

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是:

U n μ = ( n r ) 1 k = 1 r ( n k r k ) 1 i 1 < < i k n g k ( X i 1 , , X i k ) {displaystyle U_{n}-mu ={binom {n}{r}}^{-1}sum _{k=1}^{r}{binom {n-k}{r-k}}cdot sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{k}leq n}g_{k}(X_{i_{1}},ldots ,X_{i_{k}})}

所有的正交化投影函数 g k {displaystyle g_{k}} 都满足:

E = 0 {displaystyle mathbb {E} =0}

因此,所有的分解项之间是互不相关的,并且度为 k {displaystyle k} 的分解项之平均的阶为 O p ( n k / 2 ) {displaystyle O_{p}left(n^{-k/2}right)} .

在大多数应用中,一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质,可以得到如下的两项ANOVA分解式:

U n μ = r n i = 1 n g 1 ( X i ) + r ( r 1 ) n ( n 1 ) 1 i < j n g 2 ( X i , X j ) + O p ( n 3 / 2 ) {displaystyle U_{n}-mu ={frac {r}{n}}sum _{i=1}^{n}g_{1}(X_{i})+{frac {r(r-1)}{n(n-1)}}sum _{1leq i<jleq n}g_{2}(X_{i},X_{j})+O_{p}(n^{-3/2})}

同时,分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差,和对其进行t-标准化。


称为“平均成对偏差”。

这正是人们熟知的样本方差 S n 2 {displaystyle S_{n}^{2}}

展开后可以写成一个U-统计量。

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