U-统计量

✍ dations ◷ 2025-06-08 18:35:33 #U-统计量

U-统计量是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量，它在估计理论中扮演重要角色。名称中的“ U”为无偏（unbiased）之意。在初等统计学中，U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。

U-统计量的一个重要性是，对概率分布来说，其可估计参数的最小方差无偏估计量是一个U-统计量。因此通过研究U-统计量的一般性质，可以系统地了解这些估计量的统计学性质。

U-统计量在非参数统计中尤其重要，不少用于估计和统计检验的统计量，在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性，这方便了基于它的统计推断。近年来，U-统计量在研究复杂的随机过程和随机网络类型数据的随机性质方面，发挥了作用。

目前，统计学家们对U-统计量性质的了解，几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文。在这篇论文里，Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解。

定义 ${displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r}):mathbb {R} ^{r}to mathbb {R} }$ ${displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r}):mathbb {R} ^{r}to mathbb {R} }$ 为一个函数，其具有对称性，即交换任意 ${displaystyle x_{i},x_{j}}$ $x_i,x_j$ 的位置， ${displaystyle h}$ $h$ 的值保持不变。对随机变量 ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ ，基于 ${displaystyle h}$ $h$ 的U-统计量定义如下：

这里， ${displaystyle h(cdot )}$ ${displaystyle h(cdot )}$ 称为U-统计量的核函数（Kernel function），而核函数的维数 ${displaystyle r}$ $r$ 称为该U-统计量的度（degree）。

定义 ${displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r};y_{1},ldots ,y_{s}):mathbb {R} ^{r+s}to mathbb {R} }$ ${displaystyle h(x_{1},ldots ,x_{r};y_{1},ldots ,y_{s}):mathbb {R} ^{r+s}to mathbb {R} }$ 为一个函数，其对 ${displaystyle X}$ $X$ 和 ${displaystyle Y}$ $Y$ 分别具有对称性，即交换任意 ${displaystyle x_{i_{1}},x_{i_{2}}}$ ${displaystyle x_{i_{1}},x_{i_{2}}}$ 的位置或交换任意 ${displaystyle y_{j_{1}},y_{j_{2}}}$ ${displaystyle y_{j_{1}},y_{j_{2}}}$ 的位置， ${displaystyle h}$ $h$ 的值保持不变（但不能随意交换 ${displaystyle x_{i},y_{j}}$ ${displaystyle x_{i},y_{j}}$ ）。对随机变量 ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{m};Y_{1},ldots ,Y_{n}}$ ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{m};Y_{1},ldots ,Y_{n}}$ ，基于 ${displaystyle h}$ $h$ 的两样本U-统计量定义如下：

目前在机器学习中，最常见的情形是 ${displaystyle r=s=1}$ ${displaystyle r=s=1}$ ，例如能量距离和最大平均差异（MMD）。

Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。为表述该定理，定义： ${displaystyle mu =mathbb {E} }$ ${displaystyle mu =mathbb {E} }$ 。对所有 ${displaystyle 1leq kleq r}$ ${displaystyle 1leq kleq r}$ ，定义投影函数：

${displaystyle a_{k}(x_{1},ldots ,x_{k})=mathbb {E} -mu }$ ${displaystyle a_{k}(x_{1},ldots ,x_{k})=mathbb {E} -mu }$

然后定义正交化投影函数：

${displaystyle g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})}$ ${displaystyle g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})}$ ， ${displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})}$ ${displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})}$ ，等等，每一个 ${displaystyle g_{k}}$ $g_{k}$ 都定义为相应的 ${displaystyle a_{k}}$ $a_{k}$ 减去之前定义过的所有 ${displaystyle g_{1},ldots ,g_{k-1}}$ ${displaystyle g_{1},ldots ,g_{k-1}}$ ，直至最后一个函数 ${displaystyle g_{r}}$ ${displaystyle g_{r}}$ ：

${displaystyle g_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})=a_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})-sum _{j=1}^{r-1}sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{j}leq r}g_{j}(x_{i_{1}},ldots ,x_{i_{j}})}$ ${displaystyle g_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})=a_{r}(x_{1},ldots ,x_{r})-sum _{j=1}^{r-1}sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{j}leq r}g_{j}(x_{i_{1}},ldots ,x_{i_{j}})}$

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是：

${displaystyle U_{n}-mu ={binom {n}{r}}^{-1}sum _{k=1}^{r}{binom {n-k}{r-k}}cdot sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{k}leq n}g_{k}(X_{i_{1}},ldots ,X_{i_{k}})}$ ${displaystyle U_{n}-mu ={binom {n}{r}}^{-1}sum _{k=1}^{r}{binom {n-k}{r-k}}cdot sum _{1leq i_{1}<cdots <i_{k}leq n}g_{k}(X_{i_{1}},ldots ,X_{i_{k}})}$

所有的正交化投影函数 ${displaystyle g_{k}}$ $g_{k}$ 都满足：

${displaystyle mathbb {E} =0}$ ${displaystyle mathbb {E} =0}$

因此，所有的分解项之间是互不相关的，并且度为 ${displaystyle k}$ $k$ 的分解项之平均的阶为 ${displaystyle O_{p}left(n^{-k/2}right)}$ ${displaystyle O_{p}left(n^{-k/2}right)}$ .

在大多数应用中，一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质，可以得到如下的两项ANOVA分解式：

${displaystyle U_{n}-mu ={frac {r}{n}}sum _{i=1}^{n}g_{1}(X_{i})+{frac {r(r-1)}{n(n-1)}}sum _{1leq i<jleq n}g_{2}(X_{i},X_{j})+O_{p}(n^{-3/2})}$ ${displaystyle U_{n}-mu ={frac {r}{n}}sum _{i=1}^{n}g_{1}(X_{i})+{frac {r(r-1)}{n(n-1)}}sum _{1leq i<jleq n}g_{2}(X_{i},X_{j})+O_{p}(n^{-3/2})}$

同时，分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差，和对其进行t-标准化。

称为“平均成对偏差”。

这正是人们熟知的样本方差 ${displaystyle S_{n}^{2}}$ ${displaystyle S_{n}^{2}}$ 。

展开后可以写成一个U-统计量。

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