平均曲率

在微分几何中，一个曲面 ${\displaystyle S}$ 的平均曲率（mean curvature）${\displaystyle H}$，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

令 ${\displaystyle p}$ 是曲面 ${\displaystyle S}$ 上一点，考虑 ${\displaystyle S}$ 上过 ${\displaystyle p}$ 的所有曲线 ${\displaystyle C_i}$。每条这样的 ${\displaystyle C_i}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点有一个伴随的曲率 ${\displaystyle K_i}$。在这些曲率 ${\displaystyle K_i}$ 中，至少有一个极大值 ${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_1}$ 与极小值 ${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_2}$，这两个曲率 ${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_1,{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_2}$ 称为 ${\displaystyle S}$ 的主曲率。

${\displaystyle p\in <!--\; \in \; -->S}$ 的平均曲率是两个主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章），由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

这里 ${\displaystyle E,F,G}$ 是第一基本形式的系数，${\displaystyle L,M,N}$ 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章），一个超曲面 ${\displaystyle T}$ 的平均曲率为：

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 ${\displaystyle \times <!--\; \times \; -->\frac{1}{n}}$。

另外，平均曲率 ${\displaystyle H}$ 可以用共变导数 ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$ 写成

这里利用了高斯-Weingarten 关系，${\displaystyle X(x,t)}$ 是一族光滑嵌入超曲面，${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}$ 为单位法向量，而 ${\displaystyle g_{ij}}$ 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 ${\displaystyle S}$ 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 ${\displaystyle z=S(x,y)}$，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

如果曲面还是轴对称的，满足 ${\displaystyle z=S(r)}$，则

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

这出现于杨-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 ${\displaystyle H_f}$；两个曲率等于小滴半径的倒数 ${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_1={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_2=r^{-<!--\; -\; -->1}}$。

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa's minimal surface，1982年）与 Gyroid（Gyroid，1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面（陈维桓 2006，4.6节）。