幂集

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:24:46 #幂集
数学上,给定集合 S {displaystyle S} ,其幂集 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} (或作 2 S {displaystyle 2^{S}} )是以 S {displaystyle S} 的全部子集为元素的集合(注意:空集合也是幂集的元素)。以符号表示即为在公理集合论(例如ZFC集合论)中,幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 的任何子集合 F {displaystyle F} 称为 S {displaystyle S} 上的集族若 S {displaystyle S} 是集合 { a , b , c } {displaystyle {a,b,c}} ,则 S {displaystyle S} 的全部子集如下:因此 S {displaystyle S} 的幂集为若 S {displaystyle S} 是有限集,有 | S | = n {displaystyle |S|=n} 个元素,那么 S {displaystyle S} 的幂集有 | P ( S ) | = 2 n {displaystyle |{mathcal {P}}(S)|=2^{n}} 个元素。(其实可以——事实上电脑就是这样做的——将 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 的元素表示为n位二进制数;第n位表示包含或不含 S {displaystyle S} 的第n个元素。这样的数总共有 2 n {displaystyle 2^{n}} 个。)我们也可以考虑无穷集的幂集。以对角论证法可证明一个集合(不论是否无穷)的幂集的基数总是大于原来集合的基数(粗略的说,集合的幂集必然大于原来集合),详见康托尔定理。例如正整数集的幂集可以一一对应于实数集(把一个无穷0-1序列对应于那些包含有1出现的指数的集合。例如, { 1 , 3 } {displaystyle {1,3}} 对应于序列 ( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , … ) {displaystyle (1,0,1,0,0,0,ldots )} , { 2 , 4 , 6 , 8 , … } {displaystyle {2,4,6,8,ldots }} 对应于序列 ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , … ) {displaystyle (0,1,0,1,0,1,0,1,ldots )} )。集合 S {displaystyle S} 的幂集,加上并、交和补运算,就得出布尔代数的原始例子。事实上,我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立,但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。集合 S {displaystyle S} 的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群(其中空集为幺元,每个集合的逆元为其本身),与交运算一起则构成交换半群。因此这两个运算跟幂集(透过证明分配律)一起构成一个交换环。在集合论中, X Y {displaystyle X^{Y}} 是由所有从 Y {displaystyle Y} 到 X {displaystyle X} 的函数构成的集合。因为 2 {displaystyle 2} 可以定义为 { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} (见自然数), 2 S {displaystyle 2^{S}} 这集合包含了所有从 S {displaystyle S} 到 { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} 的函数。把 2 S {displaystyle 2^{S}} 内的函数对应于由这函数给出的 1 {displaystyle 1} 的原像,可看出在 2 S {displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 之间存在双射,其中每个函数是 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 中这函数所对应的子集的特征函数。所以就集合论来说 2 S {displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 是相同的。

相关

  • 凝血因子血液凝固,或称为凝血指的是血液由液体状态转变为不流动的凝胶状态的过程,是生理性止血的重要环节。血液凝固的实质就是血浆中的可溶性纤维蛋白原变成不可溶的纤维蛋白的过程。
  • 喉炎喉炎(Laryngitis)是描述喉部发炎的现象。喉为人体主要的发声构造,喉炎常见症状包含声音沙哑(英语:hoarse voice)、发烧、咳嗽、前颈疼痛,以及吞咽困难。症状通常会持续两周。喉炎可
  • 白僵菌白僵菌属(学名:Beauveria)是子囊菌门虫草菌科(英语:Cordycipitaceae)下的一个属,行无性生殖。白僵菌属下属的种通常是昆虫的病原菌,其有性态(英语:Teleomorph, anamorph and holomorph
  • 相衬显微技术相衬显微技术是一种光学显微技术,光线在穿过透明的样品时会产生微小的相位差,而这个相位差可以被转换为图象中的幅度或对比度的变化,这样就可以利用相位差来成像。光线在穿过非
  • 超氧化物超氧化物(英语:Superoxide)是含有超氧离子(超氧根离子,O2−)的一类化合物,是氧气分子的单电子还原产物,广泛存在于自然界中。超氧离子是一个自由基,一个氧原子带有一个未成对电子,与氧
  • 无氧呼吸呼吸作用,又称为细胞呼吸(Cellular respiration),是生物体细胞把有机物氧化分解并转化能量的化学过程,也称为释放作用。无论是否自养,细胞内完成生命活动所需的能量,都是来自呼吸作
  • 维京时代北方日耳曼人从公元790年开始扩张,直到公元1066年丹麦人的后裔征服英格兰,一般称之为“维京时代”,是欧洲古典时代和中世纪之间的过渡时期。维京人是著名的航海家,他们在昔德兰
  • 日本国宪法政治主题《日本国宪法》,又被称为《和平宪法》、《战后宪法》,是日本现行宪法,在1946年11月3日公布、1947年5月3日起施行。该宪法是日本政府在二战战败投降之后的盟军占领时期
  • 伽达默尔汉斯-格奥尔格·伽达默尔(德语:Hans-Georg Gadamer,1900年2月11日-2002年3月13日),著名德国哲学家,诠释学大师,二十世纪最具影响力的哲学家之一。其1960年出版著作《真理与方法》使
  • 尊称尊称,或称敬称,是对人表示尊敬的称谓,属于敬语的一种。一般可分为接尾词型、接头词型、代名词型。对不同身份地位的人往往使用不同的尊称。