首页 >
幂集
✍ dations ◷ 2025-08-02 14:30:46 #幂集
数学上,给定集合
S
{displaystyle S}
,其幂集
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
(或作
2
S
{displaystyle 2^{S}}
)是以
S
{displaystyle S}
的全部子集为元素的集合(注意:空集合也是幂集的元素)。以符号表示即为在公理集合论(例如ZFC集合论)中,幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
的任何子集合
F
{displaystyle F}
称为
S
{displaystyle S}
上的集族若
S
{displaystyle S}
是集合
{
a
,
b
,
c
}
{displaystyle {a,b,c}}
,则
S
{displaystyle S}
的全部子集如下:因此
S
{displaystyle S}
的幂集为若
S
{displaystyle S}
是有限集,有
|
S
|
=
n
{displaystyle |S|=n}
个元素,那么
S
{displaystyle S}
的幂集有
|
P
(
S
)
|
=
2
n
{displaystyle |{mathcal {P}}(S)|=2^{n}}
个元素。(其实可以——事实上电脑就是这样做的——将
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
的元素表示为n位二进制数;第n位表示包含或不含
S
{displaystyle S}
的第n个元素。这样的数总共有
2
n
{displaystyle 2^{n}}
个。)我们也可以考虑无穷集的幂集。以对角论证法可证明一个集合(不论是否无穷)的幂集的基数总是大于原来集合的基数(粗略的说,集合的幂集必然大于原来集合),详见康托尔定理。例如正整数集的幂集可以一一对应于实数集(把一个无穷0-1序列对应于那些包含有1出现的指数的集合。例如,
{
1
,
3
}
{displaystyle {1,3}}
对应于序列
(
1
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
…
)
{displaystyle (1,0,1,0,0,0,ldots )}
,
{
2
,
4
,
6
,
8
,
…
}
{displaystyle {2,4,6,8,ldots }}
对应于序列
(
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
…
)
{displaystyle (0,1,0,1,0,1,0,1,ldots )}
)。集合
S
{displaystyle S}
的幂集,加上并、交和补运算,就得出布尔代数的原始例子。事实上,我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立,但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。集合
S
{displaystyle S}
的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群(其中空集为幺元,每个集合的逆元为其本身),与交运算一起则构成交换半群。因此这两个运算跟幂集(透过证明分配律)一起构成一个交换环。在集合论中,
X
Y
{displaystyle X^{Y}}
是由所有从
Y
{displaystyle Y}
到
X
{displaystyle X}
的函数构成的集合。因为
2
{displaystyle 2}
可以定义为
{
0
,
1
}
{displaystyle {0,1}}
(见自然数),
2
S
{displaystyle 2^{S}}
这集合包含了所有从
S
{displaystyle S}
到
{
0
,
1
}
{displaystyle {0,1}}
的函数。把
2
S
{displaystyle 2^{S}}
内的函数对应于由这函数给出的
1
{displaystyle 1}
的原像,可看出在
2
S
{displaystyle 2^{S}}
和
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
之间存在双射,其中每个函数是
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
中这函数所对应的子集的特征函数。所以就集合论来说
2
S
{displaystyle 2^{S}}
和
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
是相同的。
相关
- 牙医学人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学牙医学(法语:Dentisterie; 英语:Dentistr
- 细菌结构细菌(真细菌)的细胞结构独特,与古菌和真核生物细胞结构有很大不同。细菌的细胞结构相比真核生物,要简单很多。细菌最外层的结构为细胞壁。往内,则依次为细胞膜、细胞质及拟核。部
- 绿非硫细菌绿弯菌门(Chloroflexi)是一类通过光合作用产生能量的细菌,又称作绿非硫细菌,尽管还有一部分称作热微菌的细菌也属于绿非硫细菌。它们具有绿色的色素,包括作为反应中心的菌绿素a和
- Hf4f14 5d2 6s22, 8, 18, 32, 10, 2蒸气压第一:658.5 kJ·mol−1 第二:1440 kJ·mol−1 第三:2250 kJ·mol主条目:铪的同位素.mw-parser-output ruby.zy{text-align:justify;text
- 副极地气候副极地气候(subpolar climate),又名副极地大陆性气候、亚寒带气候(Subarctic climate)、亚寒带针叶林气候或雪林气候、极北气候(boreal climate),是一种主要分布在北纬50ºN至65ºN
- 鸦片酊鸦片酊(Laudanum),又称阿片酊或劳丹酊,为一种鸦片类止痛剂,是含10%质量浓度的鸦片粉的酊剂,相当于1%浓度的无水吗啡。鸦片酊为红褐色液体,味极苦。历史上曾用鸦片酊治疗各种疾病,但
- 腓力二世 (马其顿)腓力二世(希腊语:Φίλιππος Β' ο Μακεδών,前382年-前336年),为马其顿国王 (前359年-前336年),是阿敏塔斯三世和欧律狄刻最小的儿子,出生于佩拉。他是亚历山大大帝和腓
- 季蒂昂的芝诺季蒂昂的芝诺(Ζήνων,前335年-前263年),古希腊哲学家(不同于公元前五世纪的埃利亚的芝诺),出生于塞浦路斯的季蒂昂(Citium),于公元前313年左右到雅典研究哲学,受到苏格拉底、赫拉克
- 纳税人纳税人(或“纳税义务人”)即有义务交纳税收的人,分为法人和自然人。不同的税种有不同的纳税人;纳税人与课税对象、计税依据和纳税环节有密切的关系。
- 憩室炎憩室炎(diverticulitis)是大肠肠壁上憩室(英语:Diverticulosis)发炎的消化道疾病(英语:Gastrointestinal disease)。症状多半会是下腹部突然疼痛,不过疼痛也可能持续几天。在北美及欧