首页 >
幂集
✍ dations ◷ 2025-04-25 00:12:36 #幂集
数学上,给定集合
S
{displaystyle S}
,其幂集
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
(或作
2
S
{displaystyle 2^{S}}
)是以
S
{displaystyle S}
的全部子集为元素的集合(注意:空集合也是幂集的元素)。以符号表示即为在公理集合论(例如ZFC集合论)中,幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
的任何子集合
F
{displaystyle F}
称为
S
{displaystyle S}
上的集族若
S
{displaystyle S}
是集合
{
a
,
b
,
c
}
{displaystyle {a,b,c}}
,则
S
{displaystyle S}
的全部子集如下:因此
S
{displaystyle S}
的幂集为若
S
{displaystyle S}
是有限集,有
|
S
|
=
n
{displaystyle |S|=n}
个元素,那么
S
{displaystyle S}
的幂集有
|
P
(
S
)
|
=
2
n
{displaystyle |{mathcal {P}}(S)|=2^{n}}
个元素。(其实可以——事实上电脑就是这样做的——将
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
的元素表示为n位二进制数;第n位表示包含或不含
S
{displaystyle S}
的第n个元素。这样的数总共有
2
n
{displaystyle 2^{n}}
个。)我们也可以考虑无穷集的幂集。以对角论证法可证明一个集合(不论是否无穷)的幂集的基数总是大于原来集合的基数(粗略的说,集合的幂集必然大于原来集合),详见康托尔定理。例如正整数集的幂集可以一一对应于实数集(把一个无穷0-1序列对应于那些包含有1出现的指数的集合。例如,
{
1
,
3
}
{displaystyle {1,3}}
对应于序列
(
1
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
…
)
{displaystyle (1,0,1,0,0,0,ldots )}
,
{
2
,
4
,
6
,
8
,
…
}
{displaystyle {2,4,6,8,ldots }}
对应于序列
(
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
…
)
{displaystyle (0,1,0,1,0,1,0,1,ldots )}
)。集合
S
{displaystyle S}
的幂集,加上并、交和补运算,就得出布尔代数的原始例子。事实上,我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立,但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。集合
S
{displaystyle S}
的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群(其中空集为幺元,每个集合的逆元为其本身),与交运算一起则构成交换半群。因此这两个运算跟幂集(透过证明分配律)一起构成一个交换环。在集合论中,
X
Y
{displaystyle X^{Y}}
是由所有从
Y
{displaystyle Y}
到
X
{displaystyle X}
的函数构成的集合。因为
2
{displaystyle 2}
可以定义为
{
0
,
1
}
{displaystyle {0,1}}
(见自然数),
2
S
{displaystyle 2^{S}}
这集合包含了所有从
S
{displaystyle S}
到
{
0
,
1
}
{displaystyle {0,1}}
的函数。把
2
S
{displaystyle 2^{S}}
内的函数对应于由这函数给出的
1
{displaystyle 1}
的原像,可看出在
2
S
{displaystyle 2^{S}}
和
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
之间存在双射,其中每个函数是
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
中这函数所对应的子集的特征函数。所以就集合论来说
2
S
{displaystyle 2^{S}}
和
P
(
S
)
{displaystyle {mathcal {P}}(S)}
是相同的。
相关
- 生物生物系统层级关系:生物圈 > 生态系统 > 群落 > 种群 > 个体生物 (拉丁语,德语: Organismus, 英语:Organism,又称有机体)是指称类生命的个体。在生物学和生态学中, 地球上约有870万种
- 心肺复苏心肺复苏术(英语:Cardiopulmonary Resuscitation,CPR)是一种救助心搏骤停病患的急救措施,通过人工保持脑功能直到自然呼吸和血液循环恢复。心肺复苏术并非单一的技术,它包含了一系
- ESR红细胞沉降率(Erythrocyte sedimentation rate,ESR),也称为Biernacki反应,简称血沉,是指血红细胞在1小时内沉降的速率。红细胞沉降率是一个非常常见的血液学测试,是炎症反应的非特
- 温度温度是表示物体冷热程度的物理量,微观上来讲是物体分子热运动的剧烈程度。温度只能通过物体随温度变化的某些特性来间接测量,而用来量度物体温度数值的标尺叫温标。它规定了温
- 轴突轴突(Axon)由神经元组成,即神经细胞之细胞体长出突起,功能为传递细胞本体之动作电位至突触。于神经系统中,轴突为主要神经信号传递渠道。大量轴突牵连一起,以其外型类似而称为神经
- 约翰威立约翰威立(英语:John Wiley & Sons, Inc.,简称威立、Wiley)(NYSE:JWA)是一个世界性的出版社,专注在学术出版,且出版品主要客户是专业人士、消费者、高等教育学生与教职员。约翰威立
- 必需脂肪酸必需脂肪酸(英语:Essential fatty acid;缩写EFA)是指人体内(或其他高等动物)不能自行合成、但又必须从食物中获得的脂肪酸。只有两种脂肪酸是是人体必需的:亚油酸(一种ω-6双不饱和
- 年鉴年鉴是系统汇辑一年内的重要资料,逐年编纂连续出版的资料性工具书。有人认为年鉴属于期刊性质的年刊。资料相对完整,内容具有权威性和时间性,具有资政、鉴戒和史料作用。中文的
- 整数分解在数学中,整数分解(英语:integer factorization)又称素因数分解(prime factorization),是将一个正整数写成几个约数的乘积。例如,给出45这个数,它可以分解成
- 可数集在数学上,可数集,或称可列集,是与自然数集的某个子集具有相同基数(等势)的集合。在这个意义下,可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是