幂集

✍ dations ◷ 2025-04-02 11:32:06 #幂集
数学上,给定集合 S {displaystyle S} ,其幂集 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} (或作 2 S {displaystyle 2^{S}} )是以 S {displaystyle S} 的全部子集为元素的集合(注意:空集合也是幂集的元素)。以符号表示即为在公理集合论(例如ZFC集合论)中,幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 的任何子集合 F {displaystyle F} 称为 S {displaystyle S} 上的集族若 S {displaystyle S} 是集合 { a , b , c } {displaystyle {a,b,c}} ,则 S {displaystyle S} 的全部子集如下:因此 S {displaystyle S} 的幂集为若 S {displaystyle S} 是有限集,有 | S | = n {displaystyle |S|=n} 个元素,那么 S {displaystyle S} 的幂集有 | P ( S ) | = 2 n {displaystyle |{mathcal {P}}(S)|=2^{n}} 个元素。(其实可以——事实上电脑就是这样做的——将 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 的元素表示为n位二进制数;第n位表示包含或不含 S {displaystyle S} 的第n个元素。这样的数总共有 2 n {displaystyle 2^{n}} 个。)我们也可以考虑无穷集的幂集。以对角论证法可证明一个集合(不论是否无穷)的幂集的基数总是大于原来集合的基数(粗略的说,集合的幂集必然大于原来集合),详见康托尔定理。例如正整数集的幂集可以一一对应于实数集(把一个无穷0-1序列对应于那些包含有1出现的指数的集合。例如, { 1 , 3 } {displaystyle {1,3}} 对应于序列 ( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , … ) {displaystyle (1,0,1,0,0,0,ldots )} , { 2 , 4 , 6 , 8 , … } {displaystyle {2,4,6,8,ldots }} 对应于序列 ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , … ) {displaystyle (0,1,0,1,0,1,0,1,ldots )} )。集合 S {displaystyle S} 的幂集,加上并、交和补运算,就得出布尔代数的原始例子。事实上,我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立,但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。集合 S {displaystyle S} 的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群(其中空集为幺元,每个集合的逆元为其本身),与交运算一起则构成交换半群。因此这两个运算跟幂集(透过证明分配律)一起构成一个交换环。在集合论中, X Y {displaystyle X^{Y}} 是由所有从 Y {displaystyle Y} 到 X {displaystyle X} 的函数构成的集合。因为 2 {displaystyle 2} 可以定义为 { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} (见自然数), 2 S {displaystyle 2^{S}} 这集合包含了所有从 S {displaystyle S} 到 { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} 的函数。把 2 S {displaystyle 2^{S}} 内的函数对应于由这函数给出的 1 {displaystyle 1} 的原像,可看出在 2 S {displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 之间存在双射,其中每个函数是 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 中这函数所对应的子集的特征函数。所以就集合论来说 2 S {displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {displaystyle {mathcal {P}}(S)} 是相同的。

相关

  • BB细胞(B淋巴球)有时称之为“朝囊定位细胞”(bursa oriented cells),这是因为它们首次在鸡的腔上囊(Bursa of Fabricius)被提及的关系。在肠道的派亚氏腺体(Peyer's glands)中的淋巴组
  • 生态平衡生态平衡指的是一段长时间内在一个生态系统里面个体,物种和小生境的数目恒定或者是以某一个值作小幅度震动。正是有这样的震动,人们将这种平衡称作生态平衡。生态系统发展到成
  • 众议院多数党(232)少数党(199)空缺(4)美利坚合众国众议院(英语:United States House of Representatives)为美国国会两院之一,另一院为参议院(上议院)。众议院是美国的下议院,美国各州在众议院
  • 联合国粮食及农业组织联合国粮食及农业组织(法语:L'Organisation des Nations Unies pour l'Alimentation et l'Agriculture,缩写为ONUAA; 英语:Food and Agriculture Organization of the United Na
  • 海鲜海鲜又称海产、海味,是指海洋中可食用的生物,包括了鱼类、甲壳类(虾、蟹)、贝类、软体动物与棘皮动物。虽然海带、海藻等海洋植物也是常用来烹饪美食的食材,但是海鲜主要还是指海
  • 费尔巴哈路德维希·安德列斯·费尔巴哈(德语:Ludwig Andreas von Feuerbach,1804年7月28日-1872年9月13日),德国哲学家。出生于拜仁州(巴伐利亚)下拜恩区的首府兰茨胡特,逝于同一州的纽伦堡,是
  • 捉刀捉刀,指代别人行事、作文,从事此行为者俗曰“捉刀人”、“枪手”、“替枪”,是一种以代别人行事、作文,或代笔文学作品,如书、记事、剧本等为生的著作家。“枪手”、“捉刀人”也
  • 静脉曲张静脉曲张(英语:Varicose veins)是不正常扩张的静脉。它的英文是源自拉丁文varix。静脉曲张的类型包括:患有下肢静脉曲张者的小腿静脉会明显凸出,甚至出现不雅观的膨胀和扭曲。静
  • 安宫牛黄丸安宫牛黄丸属于中医方剂的开窍剂,出自吴鞠通的《温病条辨》,由12味中药组成,主要功用为清热开窍、豁痰解毒,是用以治疗温热病热陷心包,中风昏迷,小儿惊厥的方剂,症状为神昏谵语、烦
  • 事业单位事业单位,按照中华人民共和国国家事业单位登记管理局《事业单位登记管理暂行条例实施细则》的规定,是指国家为了社会公益目的,由国家机关举办或者其他组织利用国有资产举办的,从