预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

考虑集合 及其上的二元关系 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$ 的元素 ， 和 ，下列性质成立：

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$ 且 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$，则 = ）的预序为偏序。

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 上的等价关系 ${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$ ${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$ 当且仅当 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$ 且 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$。定义所得商集 ${\displaystyle X/\sim <!--\; \sim \; -->}$] ${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$] 当且仅当 ${\displaystyle \lesssim <!--\; \lesssim \; -->}$。由 ${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$ 的构造可知，${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$ 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。