巴尼斯G函数

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为：

其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

巴尼斯G函数满足差分方程

特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：

因此，

其中，${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n)}$表示Γ函数，${\displaystyle K(n)}$表示K函数。

另外，在满足条件${\displaystyle \frac{d^3}{d{x}^3}G(x)\ge <!--\; \ge \; -->0}$时，差分方程唯一确定一个G函数。.

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-<!--\; -\; -->nz}(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->\frac{n^2-<!--\; -\; -->n}{2}z}\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\underset{j=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).}$

其中K是一个常数，定义为：

其中${\displaystyle {\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$表示黎曼ζ函数的导函数，${\displaystyle A}$则表示为格莱舍常数。

${\displaystyle \log G(z+1)}$可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

其中${\displaystyle B_k}$为伯努利数，${\displaystyle A}$为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数${\displaystyle B_{2k}}$习惯写成${\displaystyle (-<!--\; -\; -->1{)}^{k+1}{B}_k}$。）