特定指数的费马大定理的证明

费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指数n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

证明${\displaystyle x^4+y^4=z^4}$没有全不为0的整数解。

假设x,y,z是满足${\displaystyle x^2+y^2=z^2}$的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得${\displaystyle x^2=a^2-<!--\; -\; -->b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2}$。

假设(x,y,z)为方程${\displaystyle x^4+y^4=z^2}$一个解并且x,y互质，y为偶数，则${\displaystyle x^2=a^2-<!--\; -\; -->b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2}$，其中${\displaystyle a>b>0}$，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由${\displaystyle x^2=a^2-<!--\; -\; -->b^2}$得a必定是奇数，b必定是偶数。

另外，亦得${\displaystyle x^2+b^2=a^2}$，再从此得${\displaystyle x=c^2-<!--\; -\; -->d^2,b=2cd,a=c^2+d^2}$，其中${\displaystyle c>d>0}$，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

最后有${\displaystyle y^2=2ab=4cd(c^2+d^2)}$，由此得c、d和${\displaystyle c^2+d^2}$为平方数。于是可设${\displaystyle c=e^2,d=f^2,c^2+d^2=g^2}$,即${\displaystyle e^4+f^4=g^2}$。换句话说，(e,f,g)为方程${\displaystyle x^4+y^4=z^2}$的另外一个解。但是，${\displaystyle z=a^2+b^2=(c^2+d^2{)}^2+4c^2{d}^2>g^4>g>0}$。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程${\displaystyle x^4+y^4=z^2}$。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程${\displaystyle x^4+y^4=z^2}$没有正整数解。