高斯整环

✍ dations ◷ 2025-12-09 11:39:59 #环论

高斯整环，指复数域 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 中，集合 $\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} ,i^{2}=-1\}$ $\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} ,i^{2}=-1\}$ 可按整环定义验证，最早由高斯发现。

高斯整环是不可以转化成有序环的欧几里德整环，所以是唯一因子分解整环。

高斯整环单位(“单位”即等价于“环中的乘法可逆元”）只有 $\{1,-1,i,i\}$ $\{1,-1,i,i\}$ 这4个。

高斯整环中元素a+bi为素元的充要条件为满足以下条件之一：

高斯整环的剩余类环为：设 $(a,b)=1,\mathbb {Z} /{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{,,\cdots ,\}$ $(a,b)=1,\mathbb {Z} /{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{,,\cdots ,\}$ .

高斯整数

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