真凸函数

在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 使得

同时对所有 满足

称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ 的负函数 ${\displaystyle f=-<!--\; -\; -->g}$ 为“真凹函数”。

对于Rn 上任意真凸函数， 存在Rn上的 与实数 β， 使得所有 满足

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合 ${\displaystyle A\subset <!--\; \subset \; -->X}$ 上的非空 凸集， 那么特征函数 ${\displaystyle I_A}$ 和 ${\displaystyle I_B}$ 为真凸函数， 但是当 ${\displaystyle A\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$ 时， ${\displaystyle I_A+I_B}$ 始终等于 ${\displaystyle +\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$.

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数， 但未必是真凸。