真凸函数

✍ dations ◷ 2025-03-04 13:14:54 #真凸函数

在数学分析，特别是凸分析与最优化中，凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在使得

同时对所有满足

称被称作真凸函数。这意味着，若凸函数为“真”，则其有效域非空，值不为 ${displaystyle -infty }$ 的负函数 ${displaystyle f=-g}$ 为“真凹函数”。

对于Rn 上任意真凸函数，存在Rn上的与实数 β，使得所有满足

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说，假设集合 ${displaystyle Asubset X}$ 上的非空凸集，那么特征函数 ${displaystyle I_{A}}$ $I_A$ 和 ${displaystyle I_{B}}$ ${displaystyle I_{B}}$ 为真凸函数，但是当 ${displaystyle Acap B=emptyset }$ ${displaystyle Acap B=emptyset }$ 时， ${displaystyle I_{A}+I_{B}}$ ${displaystyle I_{A}+I_{B}}$ 始终等于 ${displaystyle +infty }$ $+infty$ .

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数，但未必是真凸。

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