通约性

假若，两个不等于零的实数 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 的除商 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ 是一个有理数，或者说，${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 的比例相等于两个非零整数 ${\displaystyle p}$ 与 ${\displaystyle q}$ 的比例：

则称它们是互相可通约的（commensurable），而这特性则称为通约性。这意味着，存在一个非零的实数公测数 (common measure) ${\displaystyle m(m\in <!--\; \in \; -->R)}$，使得

所以

或是

其中 ${\displaystyle \frac{p}{q}\in <!--\; \in \; -->Q}$，所以 ${\displaystyle \frac{a}{b}\in <!--\; \in \; -->Q}$。

反之，如果该二数的除商是一个无理数，则称它们是不可通约的（incommensurable），亦即，${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 之间不存在一个公测数 ${\displaystyle m(m\in <!--\; \in \; -->R,m\ne <!--\; \ne \; -->0)}$ 使得

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）${\displaystyle \sqrt[]{2}}$，这破坏了他们的比例论。

为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。这本书里面记载着，假若，${\displaystyle n_a}$ 个线段 ${\displaystyle c}$ 连接起来，成为一个线段，全等于线段 ${\displaystyle a}$ ；${\displaystyle n_b}$ 个线段 ${\displaystyle c}$ 连接起来，成为一个线段，全等于线段 ${\displaystyle b}$ ；这里，${\displaystyle n_a}$ 与 ${\displaystyle n_b}$ 是整数。那么，两个线段 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 是互相可通约的。欧几里得并没有用到实数的概念。他用到了线段与线段之间，全等，比较长，或比较短，这些概念。

设定实数 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 。那么，实数 ${\displaystyle c}$ ，整数 ${\displaystyle n_a}$ 与 ${\displaystyle n_b}$ 的存在，促使

的充分必要条件是除商 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ 为有理数。

假设 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 是正值的实数。又假设我们有一支尺，长度单位为实数 ${\displaystyle c}$ 。我们用这尺来测量两个长度为 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 的线段。假若，所得到的答案都是整数，则称 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle b}$ 互相可通约的；否则，互相不可通约的。

在天文学里，两个公转于运行轨道的天体，像行星、卫星、或小行星，假若，它们的公转周期的比例是有理数，则称它们相互呈现通约性。

例如，海王星与冥王星的轨道周期的比例是 2:3 。土星的两个卫星，土卫六与土卫七的轨道周期的比例是 3:4 。特洛伊小行星与木星的轨道周期的比例是 1:1 。格利泽 876b 与格利泽 876c ，这两个太阳系外行星的轨道周期的比例是 2:1 。

科学家认为天体的通约性应该是因为轨道共振而产生的。

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标都有它运动的周期。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期的比例是个有理数，则称这两个周期是互相可通约的。假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。