可作图多边形

在数学中，可作图多边形是可以用尺规作图的方式作出的正多边形。例如，正五边形可以只使用圆规和直尺作出，而正七边形却不可以。

一些正多边形很容易地用圆规和直尺作出，而另一些却不行。于是便提出了一个问题：是否所有的正 边形，都可以用圆规和直尺作出？若不能，哪些正 边形可以，哪些不可以？

德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在1796年证明了作出正十七边形的可能性。五年后，他在他的《算术研究》一书中提出了高斯周期（英语：Gaussian period）理论，这一理论可推导出一个正 边形是可作图多边形的充分条件：

高斯认为这个条件也是必要条件，但是他一直没有发表他的证明。1837 年，Pierre Wantzel（英语：Pierre Wantzel） 给出了一份完整的必要性的证明，因此这个定理被叫做 Gauss–Wantzel 定理。

已知的费马数中只有前五个是素数：

接下来的二十八个费马数，从₅到₃₂，已证实都是合数。

因此正边形如果

则可以用圆规和直尺作出，如果

则不能。

相异费马素数的乘积，3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 65535, 65537, ..., 4294967295 （OEIS中的数列A004729），相对应的31个奇数边正多边形均为可作图多边形。约翰·何顿·康威（英语：John Horton Conway）在《The Book of Numbers》中评论，当把这31个数写成二进制时，正好等于杨辉三角前32行的模2同余，抛去第一行。但这种模式在第33行之后就不成立了，因为第6个费马数是合数，所以剩下的那些行就不符合条件了。目前还不知道是否存在更多的费马素数，因而就不知道有多少个奇数边可作图多边形。一般的，如果有个费马素数，就有${\displaystyle 2^x-<!--\; -\; -->1}$边形的问题转变为作出长度

这个实数就在次分圆域之中——事实上它的实子域就是一个全实域，是一个有理的维度为

的矢量空间，其中${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(n)}$和互素）：

因而唯一需要做的就是找到正边形（为费马素数）的作图方法。

参见：比亚邦特素数（英语：Pierpont prime）、二刻尺作图#特定正多边形

应该强调的是本文中讨论的作图专指尺规作图。如果允许使用其他的工具，作出更多的正边形也是可能的。例如，所谓的二刻尺，就是有两个刻度的直尺。用二刻尺作图可以作出正三角形一直到正二十二边形，尽管剩下许多多边形仍然无法作出。

当等于${\displaystyle 2^r{3}^s{p}_1{p}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->p_k,}$ ≥ 0且是大于三的比亚邦特素数（英语：Pierpont prime）（符合${\displaystyle 2^t{3}^u+1}$和是正整数)，正边形可以由直尺、圆规以及三等份角作出：:Thm. 2