可作图多边形

✍ dations ◷ 2025-07-11 14:27:29 #可作图多边形

在数学中,可作图多边形是可以用尺规作图的方式作出的正多边形。例如,正五边形可以只使用圆规和直尺作出,而正七边形却不可以。

一些正多边形很容易地用圆规和直尺作出,而另一些却不行。于是便提出了一个问题:是否所有的正 边形,都可以用圆规和直尺作出?若不能,哪些正 边形可以,哪些不可以?

德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在1796年证明了作出正十七边形的可能性。五年后,他在他的《算术研究》一书中提出了高斯周期(英语:Gaussian period)理论,这一理论可推导出一个正 边形是可作图多边形的充分条件:

高斯认为这个条件也是必要条件,但是他一直没有发表他的证明。1837 年,Pierre Wantzel(英语:Pierre Wantzel) 给出了一份完整的必要性的证明,因此这个定理被叫做 Gauss–Wantzel 定理。

已知的费马数中只有前五个是素数:

接下来的二十八个费马数,从532,已证实都是合数。

因此正边形如果

则可以用圆规和直尺作出,如果

则不能。

相异费马素数的乘积,3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 65535, 65537, ..., 4294967295 (OEIS中的数列A004729),相对应的31个奇数边正多边形均为可作图多边形。约翰·何顿·康威(英语:John Horton Conway)在《The Book of Numbers》中评论,当把这31个数写成二进制时,正好等于杨辉三角前32行的模2同余,抛去第一行。但这种模式在第33行之后就不成立了,因为第6个费马数是合数,所以剩下的那些行就不符合条件了。目前还不知道是否存在更多的费马素数,因而就不知道有多少个奇数边可作图多边形。一般的,如果有个费马素数,就有 2 x 1 {displaystyle 2^{x}-1} 边形的问题转变为作出长度

这个实数就在次分圆域之中——事实上它的实子域就是一个全实域,是一个有理的维度为

的矢量空间,其中 ϕ ( n ) {displaystyle phi (n)} 和互素):

因而唯一需要做的就是找到正边形(为费马素数)的作图方法。

参见:比亚邦特素数(英语:Pierpont prime)、二刻尺作图#特定正多边形

应该强调的是本文中讨论的作图专指尺规作图。如果允许使用其他的工具,作出更多的正边形也是可能的。例如,所谓的二刻尺,就是有两个刻度的直尺。用二刻尺作图可以作出正三角形一直到正二十二边形,尽管剩下许多多边形仍然无法作出。

当等于 2 r 3 s p 1 p 2 p k , {displaystyle 2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}cdots p_{k},} ≥ 0且是大于三的比亚邦特素数(英语:Pierpont prime)(符合 2 t 3 u + 1 {displaystyle 2^{t}3^{u}+1} 和是正整数),正边形可以由直尺、圆规以及三等份角作出::Thm. 2

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