霍普夫-里诺定理

✍ dations ◷ 2025-06-04 12:04:14 #黎曼几何,度量几何,数学定理

数学中,霍普夫-里诺定理(Hopf–Rinow theorem)是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题,以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下:

设是黎曼流形,则下列命题等价:

而且,以上任一条均可导出对于 M {\displaystyle M} 中任何两点 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} ,存在连起两点的测地线使长度最短(测地线一般是极值,不一定是最小值)。

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下:

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