霍普夫-里诺定理

✍ dations ◷ 2025-05-12 23:45:51 #黎曼几何,度量几何,数学定理

数学中，霍普夫-里诺定理（Hopf–Rinow theorem）是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下：

设是黎曼流形，则下列命题等价：

而且，以上任一条均可导出对于 $M {\displaystyle M}$ $M$ 中任何两点 $p {\displaystyle p}$ $p$ 和 $q {\displaystyle q}$ $q$ ，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是最小值）。

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下：

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