布斯乘法算法

✍ dations ◷ 2025-04-02 17:18:59 #电脑架构,计算机科学,算法,二进制算术

布斯乘法算法(英语:Booth's multiplication algorithm)是计算机中一种利用数的2的补码形式来计算乘法的算法。该算法由安德鲁·唐纳德·布思于1950年发明,当时他在伦敦大学柏贝克学院做晶体学研究。布斯曾使用过一种台式计算器,由于用这种计算器来做移位计算比加法快,他发明了该算法来加快计算速度。布斯算法在计算机体系结构学科中备受关注。

对于位乘数,布斯算法检查其2的补码形式的最后一位和一个隐含的低位,命名为-1,初始值为0。对于, = 0, 1, ..., - 1,考察 - 1。当这两位相同时,存放积的累加器的值保持不变。当 = 0且 - 1 = 1时,被乘数乘以2加到中。当 = 1且 - 1 = 0时,从中减去被乘数乘以2的值。算法结束后,中的数即为乘法结果。

该算法对被乘数和积这两个数的表达方式并没有作规定。一般地,和乘数一样,可以采用2的补码方式表达。也可以采用其他计数形式,只要支持加减法就行。这个算法从乘数的最低位执行到最高位,从 = 0开始,接下来和2的乘法被累加器的算术右移所取代。较低位可以被移出,加减法可以只在的前位上进行。

布斯算法的实现,可以通过重复地在上加两个预设值和 S其中的一个,然后对实施算术右移。设和分别为被乘数和乘数,再令和分别为和中的数字位数。

换另一种说法:把前x位用一个单独的数R0表示,中间y位用另一个数表示R1表示,辅助位用Z表示在这里,要通过重复的把R0加上或者减去m来得到结果。具体如下:初始值R0=0,R1=r.Z=0,此时来考查yi和yi-1这两位,在这里就是m的最后一位和Z的值。这里要说下为什么每次看的都是这两位了。在下边每次运算后都会把R0,R1,Z中的值右移一次,RO的最后一位移入R1的高位,R1的最后一位移入Z。这里要注意的是在右移R0时,如果他的最高位是1,则移位后最高位用1填充,如果最高位是0,移位后最高位用0填充。接下来要按m的最后一位和Z的值来判断怎么加减了:

最后是结果,结果就是R0并上R1的值。比如R0=3,R1=25,结果就是325.

考虑一个由若干个0包围着若干个1的正的二进制乘数,比如00111110,积可以表达为:

其中,M代表被乘数。变形为下式可以使运算次数可以减为两次:

事实上,任何二进制数中连续的1可以被分解为两个二进制数之差:

因此,我们可以用更简单的运算来替换原数中连续为1的数字的乘法,通过加上乘数,对部分积进行移位运算,最后再将之从乘数中减去。它利用了我们在针对为零的位做乘法时,不需要做其他运算,只需移位这一特点,这很像我们在做和99的乘法时利用99 = 100 − 1这一性质。这种模式可以扩展应用于任何一串数字中连续为1的部分(包括只有一个1的情况)。那么,

布斯算法遵从这种模式,它在遇到一串数字中的第一组从0到1的变化时(即遇到01时)执行加法,在遇到这一串连续1的尾部时(即遇到10时)执行减法。这在乘数为负时同样有效。当乘数中的连续1比较多时(形成比较长的1串时),布斯算法较一般的乘法算法执行的加减法运算少。

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