哈密顿-雅可比方程

在物理学里，哈密顿-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恒的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程。用数学表达

其中，${\displaystyle \mathcal{H}}$ 是哈密顿量，未知函数 ${\displaystyle S(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N;a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_N;t)}$ 称为哈密顿主函数，${\displaystyle (q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N)}$ 是广义坐标，${\displaystyle (a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_N)}$ 是积分常数，${\displaystyle t}$ 是时间。

假若能够找到哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$ 的形式，就可以计算出广义坐标 ${\displaystyle (q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N)}$ 与广义动量 ${\displaystyle (p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_N)}$ 随时间的演变。这样，可以完全地解析物理系统随时间的演化。

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程；其中，函数 ${\displaystyle S(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N;a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_N;t)}$ 有 ${\displaystyle N}$ 个广义坐标 ${\displaystyle q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N}$ ，和 ${\displaystyle N}$ 个独立的积分常数${\displaystyle (a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_N)}$ 。在 HJE 中，哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$ 有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。

与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，哈密顿力学里使用共轭动量而非广义速度。并且，哈密顿方程乃是一组 ${\displaystyle 2N}$ 个一阶微分方程，用来表示 ${\displaystyle N}$ 个广义坐标和 ${\displaystyle N}$ 个广义动量随时间的演变，而拉格朗日方程则是一组 ${\displaystyle N}$ 个二阶微分方程，用来表示 ${\displaystyle N}$ 个广义坐标随时间的演变。

因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用 HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})}$ 变换为一组新的正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ ，而同时维持哈密顿方程的型式（称为型式不变性）。旧的哈密顿方程为

新的哈密顿方程为

这里，${\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)}$ 、${\displaystyle \mathcal{K}(\mathbf{Q},\mathbf{P},t)}$ 分别为旧的哈密顿量与新的哈密顿量，${\displaystyle t}$ 是时间。

假若，使用第二型生成函数 ${\displaystyle G_2(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}$ 来生成新正则坐标，则新旧正则坐标的关系为

而新旧哈密顿量的关系为

（条目正则变换有更详细的说明。）

假若，可以找到一个第二型生成函数 ${\displaystyle S=G_2}$ 。这生成函数使新哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{K}}$ 恒等于 0 。称这个生成函数 ${\displaystyle S(\mathbf{q},\mathbf{P},t)}$ 为哈密顿主函数。那么，新哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{K}}$ 所有的偏导数都等于 0 。哈密顿方程也变得非常的简单：

这样，新正则坐标都成为运动常数 ${\displaystyle \mathit{a}=(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_N)}$ 、 ${\displaystyle \mathit{b}=(b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_N)}$ ：

由于 ${\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{q}}}$ ，代入旧哈密顿量，则可得到哈密顿-雅可比方程：

解析问题的重要关键是必须找到哈密顿主函数 ${\displaystyle S(\mathbf{q},\mathit{a},t)}$ 的方程。一旦找到这方程，因为

给予 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 在时间 ${\displaystyle t=t_0}$ 的初始值， ${\displaystyle {\mathbf{q}}_0}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_0}$ ，可以求出运动常数 ${\displaystyle \mathit{a}}$ ，${\displaystyle \mathit{b}}$ 。知道这两组运动常数，立刻可以得到旧正则坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 随时间的演变。

假设，哈密顿量不显含时：${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0}$ 。那么，

哈密顿量是一个运动常数，标记为 ${\displaystyle a_{\mathcal{H}}}$ ：

哈密顿主函数可以分离成两部分：

其中，不含时间的函数 ${\displaystyle W(\mathbf{q},\mathit{a})}$ 称为哈密顿特征函数。

思考一个新的正则变换。设定哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf{q},\mathit{a})}$ 为一个第二型生成函数 ${\displaystyle G_2}$ ：

那么，哈密顿-雅可比方程变为

由于哈密顿特征函数不显含时，新旧哈密顿量的关系为

新正则坐标随时间的导数变为

所以，新正则坐标变为

假若，能找到哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf{q},\mathit{a})}$ ，给予旧广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与旧广义动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 在时间 ${\displaystyle t=t_0}$ 的初始值， ${\displaystyle {\mathbf{q}}_0}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_0}$ ，依照前面所述方法，就可以求出旧正则坐标随时间的演变。

哈密顿-雅可比方程最有用的时候，是当它可以使用分离变数法，来直接地辨明运动常数。假设，HJE 可以分为两部分。一部分只跟广义坐标 ${\displaystyle q_k}$ 、哈密顿主函数的偏导数 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_k}}$ 有关，标记这部分为 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\left(q_k,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_k}\right)}$ 。另一部分跟 ${\displaystyle q_k}$ 、 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_k}}$ 无关。对于这状况，哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$ 可以分离为两个函数。一个函数 ${\displaystyle S_k}$ 除了广义坐标 ${\displaystyle q_k}$ 以外，跟任何其它广义坐标无关。另外一个函数 ${\displaystyle S_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}}}$ 跟 ${\displaystyle q_k}$ 无关。

由于每一个广义动量都是运动常数，${\displaystyle \mathbf{P}=\mathbf{a}}$ ，函数 ${\displaystyle S_k}$ 只跟广义坐标 ${\displaystyle q_k}$ 有关：

若将哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$ 代入 HJE，则可以观察到，${\displaystyle q_k}$ 只出现于函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 内部，而不出现于 HJE 的任何其它地方。所以，函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 必须等于常数（在这里标记为 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_k}$）。这样，可得到一个一阶常微分方程：

在某些问题里，很幸运地，函数 ${\displaystyle S}$ 可以完全的分离为 ${\displaystyle N}$ 个函数 ${\displaystyle S_k}$