音高集合

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:52:36 #记谱法

音高集合(英语:pitch class)是一个集合,其中所有的音高都刚好差整数倍的八度音,举例来说,音高集合C包含了所有八度音中的C。若以科学音高记法表示,则音高集合C如下

其中,C2比C1高八度音,频率为后者两倍,数字每多一,就高一个八度,频率变两倍。虽然n没有正式的范围,但人耳只听得到部分的音高(约20赫兹到20000赫兹),故n大多范围在0到11之间。人耳对音高的感知是对数–线性,且在同一音高集合中的音高,因为频率为倍数关系,彼此有叠加的关系,故听起来非常和谐,有相似的感受,此关系称为“等价八度”,故音高集合的概念非常的重要。

要注意在标准西方音乐标记中,不同的符号可能代表着相同的音高,譬如: B♯3, C4, 和 D双降4 都是相同的,因此也有着一样的色度,被归类在同一种音高集合中。

为了避免相同标记造成的误会,音高集合通常用数字来表示音高集合,以常见的十二平均律为例,一个八度可以平均分成十二个等分,数字由0到11,每个数字都比前个数字高一个半音,不会有12的出现,因为12刚好到达八度音,频率两倍,会算在音高集合第0类。故可直接将MIDI值除以12,余数相同的就会在对应的音高集合中。

根据美国标准协会定义,A4的频率为440赫兹,故低一个八度音的A3频率为A4一半(220赫兹)。A3到A4之间差了一个八度音程,由十二平均率可平分为12等份的半音,r为每个半音所差的频率倍数,B比A高了两个半音,C比A高了三个半音,可依此计算各个音符的频率。 r = 2 12 {\displaystyle r={\sqrt{2}}}

F r e q B 4 = 440 × r 2 = 440 × 2 2 12 493.88 H z {\displaystyle Freq_{B_{4}}=440\times r^{2}=440\times 2^{\frac {2}{12}}\approx 493.88Hz}

F r e q C 4 = 440 × r 3 = 440 × 2 3 12 523.25 H z {\displaystyle Freq_{C_{4}}=440\times r^{3}=440\times 2^{\frac {3}{12}}\approx 523.25Hz}

MIDI 值用0~127的实数来代表C-2到G8的音高,若高一个半音,则数字多一,A4的MIDI值为69,B4的MIDI值为71,C4的MIDI值为72以此类推。若想计算每个音高的MIDI值和频率,可用以下方程式计算,f 是基频(单位为赫兹),p是MIDI值:

p = 69 + 12 log 2 ( f / 440 ) {\displaystyle p=69+12\log _{2}({f/440})}

故可将MIDI值直接除以12,即可得到对应音高集合,我们也可用符号取代整数标记法。

0 C {\displaystyle 0\equiv C}

1 C # / D b {\displaystyle 1\equiv C\#/Db}

2 D {\displaystyle 2\equiv D}

但有时10,11分别会用"t","e"表示,或是"A","B"表示。

音高集合与色度可应用在复音(和弦)的特征抽取,复音代表着同时有两个以上的音,彼此可能有不同的音频,故有多个音高集合所构成,且可转换成色度用向量去纪录各个音高集合的比重,如果以最常见的十二平均律为例,可以用一个十二维的向量来代表色度,第一维代表着音高集合C的比重,第二维代表着音高集合C#的比重,第三维代表着音高集合D的比重,以此类推,则C大三和弦,以色度表示,第一维(C)、第五维(E)、第九维(G)的值会特别大,但是其他九维的值也不会等于零,因为弦乐器有除了基本音频外,还有第一泛音、第二泛音、第三泛音等等,且和弦为复音,彼此的泛音又会共鸣,造成许多组成音以外的音。若可取出大量和弦音讯的十二维色度特征,即可透过机器学习的方法,由电脑自动判断新音讯之合弦。但此特征抽取的方法有个小缺陷,因为色度无法分辨音高来自哪个八度音,故无法分辨出二度音和九度音,故会造成有些特殊和弦无法区别,比如说九和弦、十一和弦、十三和弦。

1. Arnold Whittall, The Cambridge Introduction to Serialism (New York: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk).

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5. Müller, Meinard (2007). Information Retrieval for Music and Motion, p.60. ISBN 9783540740483. "A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma."

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