参数方程

参数方程（英语：parametric equation）和函数相似，都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}}$

并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

${\displaystyle x=a\cos <!--\; \; -->(t),y=a\sin <!--\; \; -->(t)}$，表示了平面上半径为${\displaystyle a}$、以原点为圆心的圆。在三维，加入${\displaystyle z=bt}$，便是螺旋的图形。这些式子可以表示成：

如果有一个粒子，沿这个螺旋的路径而行，直接微分上面的式子便会得到粒子的速度：

及加速度：

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。

譬如一个圆柱：

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x＝f(t)，y＝g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

直线：

过${\displaystyle (x_0,y_0)}$，斜率为${\displaystyle m}$的直线: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x_0+t\\ y=y_0+mt\end{array}}$

过${\displaystyle (x_0,y_0)}$, 方向向量为${\displaystyle (u,v)}$的直线：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x_0+ut\\ y=y_0+vt\end{array}}$

圆：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\cos <!--\; \; -->t\\ y=r\sin <!--\; \; -->t\end{array}}$

椭圆：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=a\cos <!--\; \; -->t\\ y=b\sin <!--\; \; -->t\end{array}}$

双曲线：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=a\sec <!--\; \; -->t\\ y=b\tan <!--\; \; -->t\end{array}}$

抛物线：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=2ct\\ y=t^2\end{array}}$

螺线：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=t\cos <!--\; \; -->lt\\ y=t\sin <!--\; \; -->lt\end{array}}$

摆线：${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(t-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->t\right)\\ y=r\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->t\right)\end{array}}$

注：上文中的${\displaystyle a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_0,y_0,u,v}$为已知数，t都为参数， x, y为变量