戴德金群

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:01:31 #群论,群的性质

戴德金群(Dedekind group)指的是一类所有的子群都是正规子群的群,所有的交换群都是戴德金群,非交换的戴德金群又称汉弥尔顿群(Hamiltonian group)。

阶数最小的汉弥尔顿群是四元群,四元群具有八个元素,一般记做 Q 8 {\displaystyle Q_{8}} 。戴德金和贝尔(Reinhold Baer)证明说所有的汉弥尔顿群 H {\displaystyle H} 都是 H = Q 8 × B × D {\displaystyle H=Q_{8}\times B\times D} 的直积,其中 B {\displaystyle B} 是二阶初等阿贝尔群,而 D {\displaystyle D} 则是周期性交换群,且 D {\displaystyle D} 所有元素的阶数皆是奇数。

戴德金群以理查德·戴德金,戴德金曾在1897年的一篇文章中研究这类的群,并为有限群提供了上述的结构理论,他并以四元数的发现者威廉·哈密顿爵士之名来命名非交换的戴德金群。

在1898年,乔治·米勒(George Abram Miller)描述了汉弥尔顿群及其子群的阶的结构,像例如他发现说若一个汉弥尔顿群的阶数为 2 n {\displaystyle 2^{n}} ,那这个群会有一个阶数为 2 n 6 {\displaystyle 2^{n}-6} 的四元数子群;在2005年,霍瓦特氏(Horvat)等人利用这样的结构来计算阶数为 2 n a {\displaystyle 2^{n}a} 的汉弥尔顿群的数量,其中 a {\displaystyle a} 是一个奇数。在 n < 3 {\displaystyle n<3} 的时候,没有汉弥尔顿群的阶数为 2 n a {\displaystyle 2^{n}a} ,对于其他的 n {\displaystyle n} ,阶数为 2 n a {\displaystyle 2^{n}a} 的汉弥尔顿群的个数,和阶数为 a {\displaystyle a} 的交换群一样多。

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