C*-代数

✍ dations ◷ 2025-12-08 19:15:28 #C*-代数

C*-代数（或读作“C星代数”）是数学分支中泛函分析的重要研究对象。C*-代数的典型例子是满足以下两个性质的复希尔伯特空间的线性算子的代数：

一般认为C*-代数主要是应用在量子力学中可观察量的模型代数中。这方面的研究始于1933年左右维尔纳·海森堡创立的矩阵力学以及帕斯库尔·约当研究的更接近数学的形式。之后冯·诺依曼在他的一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的架构。这些论文可看做是一类特殊的C*-代数，现在称为冯·诺依曼代数（英语：Von Neumann algebra）。

1943年前后，伊斯拉埃尔·盖尔范德和 Mark Naimark（英语：Mark Naimark）对C*-代数建立了不依赖于算子的抽象刻画。

在当代数学研究中，C*-代数是局部紧群的酉表示理论中的重要工具，同时在量子力学的代数架构中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单核C*-代数（英语：Nuclear C*-algebra）的分类以及确定分类的详细可能性。

此处给出 Gel'fand 和 Naimark 在1943年给出的定义。

C*-代数是复数域上的巴拿赫代数（英语：Banach algebra）以及映射* : → （称为对合映射）的组合。中元素关于对合映射* 的像写作*。对合映射拥有下列性质

这个关系等价于 ${displaystyle |xx^{*}|=|x|^{2}}$ 到的有界线性算子 ${displaystyle pi :Ato B}$ ${displaystyle pi :Ato B}$ 被称为*-同态，如果

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