时频分布的变形

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:48:12 #信号处理

时频分布的变形(Motions on the time-frequency distribution)是指信号经过时频分析（Time-frequency analysis）的结果，在时频平面（time-frequency plane）上图形的各种变形。

对时频分布做各种变形，皆有其对应的物理意义。常见的时频分布的变形有下列几种：水平平移、铅直平移、扩张、斜推、旋转。时频分布的变形在分离信号、滤波器设计、取样定理、调变及多工…等领域上都有相当的帮助。

简单来说，水平平移就是信号在时间轴上的平移。例如一个在0秒至3秒之间大小为1，其他为0的方波信号，被平移成为10秒至13秒之间大小为1，其他为0的方波。若一个信号x经过水平平移t0时间单位后得到的信号为y，则x与y的时频分布关系为：

铅直平移就是信号在频率轴上的平移，在通讯上也被称为调变。将一个基频的讯号经过调变之后变换到射频来传送，可以更加有效的利用频率资源。若一个信号x经过铅直平移f0频率单位后得到y，则

扩张变形对时频分布图形造成的影响是：在时间轴拉伸a倍，而在频率轴压缩a倍。扩张变形的重要特性是时频分布占有的面积不变。若一个信号x经过a倍的扩张变形，得到的结果为y，则

沿着时间轴方向做斜推变形，造成的影响是：时间轴方向的位移量与频率大小成正比。反之，沿着频率轴方向做斜推变形，则会使频率轴方向的位移量与时间大小成正比。沿时间轴的斜推变形，是信号与chirp函数做折积运算的结果；沿频率轴的斜推变形，是信号与chirp函数相乘的结果。若一个信号x沿着时间轴做a倍的斜推变形后得到的结果为y，则

$x(t)=y(t)e^{j\pi {\frac {t^{2}}{a}}}$ $x(t)=y(t)e^{j\pi {\frac {t^{2}}{a}}}$

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t-af,\,f)$ $W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t-af,\,f)$

$x(t)=y(t)*e^{j\pi {\frac {t^{2}}{a}}}$ $x(t)=y(t)*e^{j\pi {\frac {t^{2}}{a}}}$

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t,\,f-at)$ $W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t,\,f-at)$

旋转变形顾名思义就是把图形对着原点旋转。对信号做傅里叶变换会将图形顺时针方向旋转90度；同样的，做傅利业反变换会将图形逆时钟旋转90度。而分数傅里叶变换可将图形旋转任意的角度。若一个信号x做傅里叶变换后得到的结果为y，则

$y=\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$ $y=\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}(-f,\,t)$ $W_{y}(t,\,f)=W_{x}(-f,\,t)$

分數傅立葉轉換

第一种定义:

第二种定义:

$\phi =0.5a\pi$ $\phi =0.5a\pi$ , $a {\displaystyle a}$ $a$ 为实数。

当 $a=1$ $a=1$ 时 (亦即 $\phi =0.5\pi$ $\phi =0.5\pi$ )，分数傅里叶变换就成了傅里叶变换。

当一个讯号的时频分布呈现不规则形状时，会有许多不必要的带宽浪费,此时可以将频率与时间的关系近似于多项式,只要将原讯号乘上原讯号的共轭函数，就可以将时频分布拉直，如同直流讯号或是单频讯号的时频分布，这样除了可以降低传输时的带宽之外，因为在时频分布上的面积缩小所以亦可降低总取样点数。

$y(t)\cong Ae^{-j\phi (t)}$ $y(t)\cong Ae^{-j\phi (t)}$

$\phi (t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}$ $\phi (t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}$

$frequency={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}$ $frequency={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}$

$x(t)=y(t)e^{j\phi (t)}$ $x(t)=y(t)e^{j\phi (t)}$

$W_{x}(t,\,f)=W_{y}(t,\,f-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}})$ $W_{x}(t,\,f)=W_{y}(t,\,f-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}})$

利用线性正则变换可以把时频分布做任意的线性变形

定义

线性正则变换有四个参数(a, b, c, d)和一个限制，也就是有三个自由参数，第四个参数则由另外三个所决定。

矩阵 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ 的行列式ad - bc = 1

在这里用 $F_{(a,b,c,d)}(u)$ $F_{(a,b,c,d)}(u)$ 表示 $f(u)$ $f(u)$ 做线性正则变换的结果， $O_{F}^{(a,b,c,d)}$ $O_{F}^{(a,b,c,d)}$ 表示做参数为{a,b,c,d}的线性正则变换。

传统的滤波器设计，是在频域对不同频率给定不同的频率响应，借此压抑或是强化某些频率的能量。因为一般而言被处理的信号都是时变的，在加入时频分析工具以及变形之后，可以对信号做更复杂的处理，得到更好的效果，例如:分数傅里叶变换，可以将讯号时频分布旋转至适当角度让讯号及干扰的cut-off line与水平轴垂直，此时讯号再与干扰会在时间轴上分离只要在时间轴上乘上一个适当的window function，就可以分离讯号及噪声。

时频分布所占的面积，相当于一个信号所需要取样的次数。同上原因，对信号的时频分布进行适当地旋转,变形及切割之后，可以使取样点数降低或是让取样方法更简单。

在通讯系统中，我们为了有效的利用传输资源，会进行分时多工或是分频多工，把时间或频率切割成小的区块再将讯号载在其中。同样的，若利用时频分布的变形，我们有机会把信号调整成更适合小区块的形状再放入，进而节省通讯资源。

相关

文化马赛克文化马赛克（英语：cultural mosaic，法语：la mosaïque culturelle）描述于加拿大社会共存的各个族群、各种语言和各样文化互相融合。文化马赛克的理念是为了捍卫多元文化的理想，不同
非亲核碱非亲核碱是指一些不是良好亲核体的碱。大多数的碱是亲核体，会和烷基反应。但在有些化学反应中，会需要一些化合物可以吸收质子（氢离子），但不会有其他亲核体的作用。非亲核碱由于位
阿片样肽受体阿片样肽受体或阿片类受体、阿片受体（英语：Opioid receptors）是一类以阿片样肽为配体的G蛋白偶联受体。内源性类阿片物质包括强啡肽、脑啡肽（英语：enkephalin）、内啡肽、endomorph
安福火腿安福以火腿而闻名，在安福有一个工厂专门生产火腿，这种火腿用烟熏而成，味道鲜美，大多数地方也会生产这种火腿，但是味道没有安福的香。安福火腿历史悠久，是用猪蹄做的，当地人用这种火
泄归泥泄归泥为三国时期鲜卑西鲜卑君主之一，是三国时期鲜卑西鲜卑第二任君主，接替蒲头，在位年期不详。现时资料只知此王是扶罗韩之子。
丹尼 (芬兰歌手)伊尔卡·约翰内斯·利普萨宁（芬兰语：Ilkka Johannes Lipsanen；1942年9月24日－），通常以其艺名丹尼（Danny）著称，是一位芬兰歌手和吉他演奏家。时至今日，他依然活跃在舞台上。丹尼的演唱
王兆槐王兆槐（1906年4月20日－1986年8月），别号铁厂、铁庵，字恩贻，浙江遂安人。王兆槐毕业于杭州体育专科师范学校、黄埔军校第四期步科。毕业后，历任北伐总司令部上尉参谋、第五十二师副官
Bitdefender比特梵徳（BitDefender）是一款由罗马尼亚的Softwin软件公司开发的杀毒软件。BitDefender诞生于2001年11月，代替了它之前的AVX（AntiVirus eXpress）系列产品。该产品包括有家庭版、
弦音－风舞高中弓道部－《弦音－风舞高中弓道部－》（日语：ツルネ－風舞高校弓道部－），是日本京都动画旗下《KA Esuma文库》出版的轻小说，作者是綾野ことこ，插画由森本ちなつ担任。该作品起先在2016年以《夜多的森
铁十字勋章 (电影)铁十字勋章（英语：Cross Of Iron）1977年美国好莱坞战争片电影，是“血腥暴力派”祖师山姆毕京柏名作，男主角是詹姆士柯本，演一位第二次世界大战在俄罗斯最是惨烈东战场得到铁十字勋