代数基本定理

代数基本定理说明，任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式()，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果是()的根，那么或它的共轭复数就是()的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当||足够大时，首系数为1的次多项式函数()的表现如同。一个更确切的表述是：存在某个正实数，使得当|| > 时，就有：

寻找一个中心为原点，半径为的闭圆盘，使得当|| ≥ 时，就有|()| > |(0)|。因此，|()|在内的最小值（一定存在，因为是紧致的），是在的内部的某个点₀取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，(₀) = 0。也就是说，₀是()的一个零点（根）。

由于在之外，有|()| > |(0)|，因此在整个复平面上，|()|的最小值在₀取得。如果|(₀)| > 0，那么1/在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数，都有|1/()| ≤ |1/(₀)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/是常数，因此是常数。于是得出矛盾，所以(₀) = 0。

这个证明用到了辐角原理。设为足够大的正实数，使得()的每一个根的绝对值都小于；这个数一定存在，因为次多项式函数最多有个根。对于每一个 > ，考虑以下的数：

其中()是中心为0，半径为的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是()在中心为0、半径为的开圆盘内的零点的数目，由于 > ，所以它也是()的零点的总数目。另一方面，/沿着()的积分除以2π，等于。但这两个数的差为：

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是 − 1，而分母的次数是 + 1。因此，当趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于 − ，因此有 = 。

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个 > 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。

设为大小 > 0的方块矩阵，并设为相同大小的单位矩阵。假设没有特征值。考虑预解函数

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。的特征值正好是的极点。根据假设，没有特征值，因此函数是整函数，根据柯西积分定理可知：

另一方面，把展开为几何级数，可得：

这个公式在半径为||||的闭圆盘的外部（的算子范数）成立。设 > ||||。那么：

（仅当 = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此一定有一个特征值。

设₀ ∈ C为使|()|在₀取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把()写成 − ₀的多项式：存在某个自然数和一些复数、 _+ 1、…、，使得 ≠ 0，以及：

可推出如果是(()-(₀))/的一个重根，且是足够小的正数，那么|(₀ + )| < |(₀)|，这是不可能的，因为|(₀)|是||在内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设()没有根。选择一个足够大的正数，使得对于|| = ，()的第一项大于所有其它的项的和；也就是说，|| > | _− 1 −1 + ··· + ₀|。当依逆时针方向绕过方程为|| = 的圆一次时，()，像那样，依逆时针方向绕过零次。在另外一个极端，|| = 0时，“曲线” ()仅仅是一个（非零的）点(0)，它的卷绕数显然是0。如果所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么()的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为${\displaystyle H(R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},t)=p((1-<!--\; -\; -->t)R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}$大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量视为时间，那么在时间为零时，曲线为，时间为1时，曲线为。显然在每一个点，根据原先的假设都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是，结束时是0，因此得出矛盾。所以，()至少有一个根。

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在${\displaystyle \mathbb{R}}$。那么${\displaystyle }$存在本原元${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，再次利用西罗定理，存在一个阶为的子群。这时${\displaystyle =2}$。这和先前${\displaystyle \mathbb{C}}$不存在二阶扩张矛盾。因此${\displaystyle \mathbb{C}}$的任何代数扩张都是${\displaystyle \mathbb{C}}$本身，代数基本定理得证。

由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与复数域之间的关系的：

韦达公式把多项式的系数${\displaystyle \{a_k\}}$与它的根${\displaystyle \{x_k\}}$的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出：${\displaystyle a_n{X}^n+a_{n-<!--\; -\; -->1}{X}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{1}X+a_0=a_n(X-<!--\; -\; -->x_1)(X-<!--\; -\; -->x_2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(X-<!--\; -\; -->x_n)}$