概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续周期函数的推广。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇（英语：Abram Samoilovitch Besicovitch）因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖（英语：Adams Prize）。

概周期函数有若干个等价定义。根据哈那德·玻尔引进的分析学上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数${\displaystyle f}$) 截出有限项后，得到的是一些形如

的项。其中的${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+\mathrm{i}\mathrm{t}=\mathrm{s}}$ 的实数部分${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$，${\displaystyle e^{(\log <!--\; \; -->n)it}}$是线性无关的，这个和不再是一个周期函数。

在相关研究中，哈那德·玻尔开始注意形如：

的三角多项式函数。它是若干个周期互不相同的周期函数${\displaystyle e^{i{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{k}t}}$的和。于是概周期函数的另一个定义出现了：如果对每个${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0}$，都存在三角多项式函数：${\displaystyle T_{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}(x)}$，使得对于任意的${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$，都有：

可以证明，这个定义与第一个定义是等价的。

考虑若干三角多项式函数：

其中${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k}$ 是复数。每一个${\displaystyle f_n}$ 都是周期函数，因此有限个${\displaystyle f_n}$ 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

${\displaystyle f}$不是周期函数，但仍然是概周期函数。