截面 (纤维丛)

✍ dations ◷ 2025-04-02 16:23:24 #代数拓扑,同伦论,纤维丛,微分拓扑学

在数学之拓扑学领域中,拓扑空间 上纤维丛 : → 的一个截面或横截面(section 或 cross section),是一个连续映射  : → ,使得对 属于 有 (())=。

截面是函数图像概念的某种推广。一个函数  : → 的图像可以等价于取值为 与 的笛卡儿积的一个函数:

一个截面是什么是一个函数图像的抽象刻划。令 π : → 是到第一个分量的投影:π(,) = ,则一个图是任何使得 π(())= 的函数。

纤维丛的语言保证了截面的概念可以推广到当 不必为一个笛卡儿积的情形。如果 π : → 是一个纤维丛,则一个截面是在每个纤维中选取一个点 () 。条件 π(()) = 不过意味着在点 处的截面必须在 上(见右上图)。

例如,当 是一个向量丛, 的一个截面是在每一点 ∈ 上的向量空间 x 中有一个元素。特别地,光滑流形 上一个向量场是在 的每一点选取一个切向量:这是 的切丛的一个截面。类似地, 上一个 1-形式是余切丛的一个截面。

纤维丛一般不一定有如上的整体截面,从而定义局部截面也是有用的。纤维丛的一个局部截面(local section)是一个连续函数  : → ,其中 是 的一个开集,并满足 (())= 对所有 ∈ 。如果 (, ) 是 的一个局部平凡化,这里 是从 -1() 到 × 一个同胚(这里 是纤维),在 上的整体截面总存在且一一对应于从 到 的连续函数。局部截面形成了 上一个层,称为 的截面层(sheaf of sections)。

一个纤维丛 在 上的连续截面有时记成 (,),而 的整体截面通常记做 Γ() 或 Γ(,)。

截面在同伦论与代数拓扑中都有研究,其中一个主要目标是确定整体截面的存在性或不存在性。这导向了层上同调和示性类理论。例如,一个主丛有一个整体截面当且仅当它是平凡的。另一方面,一个向量丛总有一个整体截面,即零截面。但只有当它的欧拉类为零时,才有在任何地方都不为零的整体截面。关于向量场的零点可参见庞加莱-霍普夫定理。

截面,特别是对主丛和向量丛,是微分几何中的重要工具。在这种情形,底空间 是一个光滑流形 ,而 总假设是 上一个光滑纤维丛(即 是一个光滑流形且投影 : → 是一个光滑映射)。此时,我们考虑 在一个开集 上的光滑截面,记做 ∞(,)。在几何分析中,考虑具有中等正则性的截面也是有用的。例如 截面,或满足赫尔德条件或索伯列夫空间的截面。

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