亨泽尔引理

亨泽尔引理是数学中模算术的一个结论。亨泽尔引理说明，如果一个模p（p是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

设${\displaystyle f(x)}$为整系数多项式，${\displaystyle k}$为不少于2的整数，${\displaystyle p}$为质数。若整数${\displaystyle r}$是下面同余式的根：

对于

，则有：

Hensel引理可用泰勒公式证明。

因此可见，由第三项开始，都必能被${\displaystyle p^k}$整除。因此：

若${\displaystyle K}$为完备局域。设 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_K}$为${\displaystyle K}$的整数环，设${\displaystyle f(x)}$为系数在 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_K}$的多项式，若存在 ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{O}}_K}$使得

则${\displaystyle f(x)}$有根${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->K}$。

且：

这个引理其中一个重要应用就是在域为p进数的情形。