分式环

在抽象代数中，分式环或分式域是包含一个整环的最小域，典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环，此时通常称作全分式环。

分式环有时也被称为商域，但此用语易与商环混淆。

分式环是局部化的一个简单特例。以下设 ${\displaystyle R}$ 为一个整环，而 ${\displaystyle S:=R-<!--\; -\; -->\{0\}}$。

在集合 ${\displaystyle R\times <!--\; \times \; -->S}$ 上定义下述等价关系 ${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$：

等价类 ${\displaystyle }$ 可以想成“分式” ${\displaystyle r/s}$，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此类比，在商集 ${\displaystyle (R\times <!--\; \times \; -->S)/\sim <!--\; \sim \; -->}$ 上定义加法与乘法为：

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 ${\displaystyle R\to <!--\; \to \; -->(R\times <!--\; \times \; -->S)/\sim <!--\; \sim \; -->}$，定义为 ${\displaystyle r\mapsto <!--\; \mapsto \; -->}$；这是一个单射。于是可定义分式环 ${\displaystyle T(R):=(R\times <!--\; \times \; -->S)/\sim <!--\; \sim \; -->}$，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳将 ${\displaystyle T(R)}$ 里的元素写作分式 ${\displaystyle r/s}$。

整环 ${\displaystyle R}$ 的分式环 ${\displaystyle K(R)}$ 及其自然环同态 ${\displaystyle R\to <!--\; \to \; -->K(R)}$ 满足以下的泛性质：

此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组资料 ${\displaystyle (K,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:R\to <!--\; \to \; -->T)}$ 若使得 ${\displaystyle K-<!--\; -\; -->\{0\}}$ 中的元素在 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$ 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 ${\displaystyle K}$ 必与 ${\displaystyle T(R)}$ 同构。

对于一般的交换环 ${\displaystyle R}$（容许有零因子 ），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 ${\displaystyle R\to <!--\; \to \; -->S^{-<!--\; -\; -->1}R}$ 为单射的“最大”局部化，详述如下：

设 ${\displaystyle S}$ 为 ${\displaystyle R}$ 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 ${\displaystyle T(R):=S^{-<!--\; -\; -->1}R}$，此时 ${\displaystyle T(R)}$ 常被称作 ${\displaystyle R}$ 的全分式环。