数量曲率

在黎曼几何中，数量曲率（Scalar curvature）或里奇数量（Ricci scalar）是一个黎曼流形最简单的曲率不变量。对黎曼流形的每一点，数量曲率是由该点附近的内蕴几何确定的一个实数。

在 2 维数量曲率完全确定了黎曼流形的曲率；当维数 ≥ 3，曲率比数量曲率含有更多的信息。参见黎曼流形的曲率中完整的讨论。

数量曲率一般记为 （其它记法有 , ），定义为关于度量的里奇曲率张量的迹：

这个迹和度量相关，因为里奇张量是一个 (0,2) 型张量；必须将指标上升得到一个 (1,1) 型张量才能取迹。在局部坐标中我们可以写成

这里

给了一个坐标系与一个度量张量，数量曲率可以表示为：

这里 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{bc}^a}$ 维黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$ 的数量曲率的准确值，上面的比较可以更加量化。即：对足够小的 ε，流形上半径 ε 小球的 维体积与相应的欧几里得空间中小球体积之比为

从而，这个比的二阶导数在 ε = 0 的取值，恰好是数量曲率的负数除以 3( + 2)。

这些球的半径是半径 ${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$-1 维球面，它们的面积满足下面等式：

在 2 维，数量曲率恰好是高斯曲率的 2 倍：

这里 ${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}$ 球面的数量曲率等于${\displaystyle 2/r^2}$ 的 n 维球面的数量曲率为${\displaystyle n(n-<!--\; -\; -->1)/r^2}$ 通常表示三种不同的东西：

这三个由它们的指标数目区分开：黎曼张量有四个指标，里奇张量有两个指标，里奇数量曲率没有指标。不使用指标记法的一般将 保留为全黎曼曲率张量的记号。