π的莱布尼茨公式

✍ dations ◷ 2025-04-26 16:59:44 #级数,圆周率算法,包含证明的条目,数学公式,戈特弗里德·莱布尼茨

在数学领域，π的莱布尼茨公式说明

右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到 ${\frac {\pi }{4}}$ = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当 = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。

考虑如下分解

对于|| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数成立。上式两端从0到1积分可得：

当 $n\rightarrow \infty \!$ $n\rightarrow \infty \!$ 时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

这便证明了莱布尼茨公式。

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