拉普拉斯-龙格-楞次矢量

在经典力学里，拉普拉斯-龙格-楞次向量（简称为LRL向量）主要是用来描述，当一个物体环绕着另外一个物体运动时，轨道的形状与取向。典型的例子是行星的环绕着太阳公转。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力相互作用，则LRL向量必定是一个运动常数，不管在轨道的任何位置，计算出来的LRL向量都一样；也就是说，LRL向量是一个保守量。更广义地，在开普勒问题里，由于两个物体以有心力相互作用，而有心力遵守平方反比定律，所以，LRL向量是一个保守量。

氢原子是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律的静电力互相作用．静电力是一个标准的平方反比有心力。所以，氢原子内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学的发展初期，薛定谔还在思索他的薛定谔方程的时候，沃尔夫冈·泡利使用LRL向量，关键性地推导出氢原子的发射光谱。这结果给予物理学家很大的信心，量子力学理论是正确的。

在经典力学与量子力学里，因为物理系统的某一种对称性，会产生一个或多个对应的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相对应的对称性很特别；在数学里，开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维球面；所以，整个问题涉及四维空间的某种旋转对称。

拉普拉斯-龙格-楞次向量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯、卡尔·龙格与威廉·楞次而命名。它又称为拉普拉斯向量，龙格-楞次向量，或楞次向量。有趣的是，LRL向量并不是这三位先生发现的！这向量曾经被重复地发现过好几次。它等价于天体力学中无量纲的离心率向量。发展至今，在物理学里，有许多各种各样的LRL向量的推广定义；牵涉到狭义相对论，或电磁场，甚至于不同类型的有心力。

在一个物理系统里，在任意保守的有心力的作用下（参阅保守力），一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数；能量与角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$的三个分量皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量${\displaystyle \mathbf{p}}$和从力中心点的位置到粒子位置的位移${\displaystyle \mathbf{r}}$（参阅图1）。粒子的运动平面垂直于角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$。用方程表示，

LRL向量${\displaystyle \mathbf{A}}$，也肯定地包含于粒子的运动平面。可是，只有当有心力遵守平方反比定律时，${\displaystyle \mathbf{A}}$才是常数向量。对于别种有心力，${\displaystyle \mathbf{A}}$不是常数向量，其大小与方向都会改变。假若有心力近似地遵守平方反比定律，则${\displaystyle \mathbf{A}}$的大小近似常数，而方向会缓慢地转动。对于所有的有心力，可以定义一个广义LRL向量，但是，这广义向量通常并没有解析解，假若有，也会是一个非常复杂的函数。

在重要的开普勒问题中，LRL向量${\displaystyle \mathbf{A}}$是一个运动常数，时常用来描述天文轨道，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次。1710年，在一个不著名的意大利学刊里，雅各布·赫尔曼最先发表了关于LRL向量的论文。在推导一个轨道方程的过程中，他计算出LRL向量的大小， ${\displaystyle A}$是保守的；并且推导出此案例与椭圆轨道离心率的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·伯努利，他的恩师。伯努利又更进一步地推导出LRL向量的方向。这样，LRL向量得到了它的现代形式。所以，不容质疑地，LRL向量是赫尔曼和伯努利共同发现的。

在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯又重新地发现了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法。十九世纪中叶，威廉·哈密顿推导出全等的离心率向量。他用离心率向量来证明，在平方反比有心力作用下，速端曲线显示出，粒子动量向量的头部呈圆形移动 （参阅图3）。二十世纪初，约西亚·吉布斯，应用向量分析，推导出同样的向量。后来，卡尔·龙格将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于向量的，德文教科书内，成为其中的一个例题。1924年，威廉·楞次发表了一篇关于氢原子的旧量子论的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考。1926年，沃尔夫冈·泡利用LRL向量与矩阵力学，而不是薛定谔方程，来推导氢原子的光谱。这杰作说服了大多数物理学家，使他们觉得量子力学理论是正确的。

平方反比有心力${\displaystyle \mathbf{F}(r)}$可以表达为

其中，${\displaystyle k}$是比例常数，${\displaystyle \stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}}$是单位向量，${\displaystyle \mathbf{r}}$是粒子的位置向量，${\displaystyle r}$是${\displaystyle \mathbf{r}}$的大小。

感受到此力的作用，一个粒子的轨道运动，其LRL向量的数学定义方程为

其中，${\displaystyle m}$是粒子的质量，${\displaystyle \mathbf{p}}$是动量，${\displaystyle \mathbf{L}=\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{p}}$是角动量。

由于平方反比有心力为保守力，能量${\displaystyle E=\frac{p^2}{2m}-<!--\; -\; -->\frac{k}{r}}$是运动常数：

再者，角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$也是保守的，可以决定粒子移动平面的取向。因为${\displaystyle \mathbf{p}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{L}}$与${\displaystyle \mathbf{r}}$都垂直于${\displaystyle \mathbf{L}}$，所以，LRL向量${\displaystyle \mathbf{A}}$垂直于角动量；${\displaystyle \mathbf{A}}$包含于轨道的平面。

这个单独粒子的LRL向量定义，也可以延伸至像开普勒问题一类的二体问题，只需要设定质量${\displaystyle m}$为二个物体的约化质量，设定位置向量${\displaystyle \mathbf{r}}$为二个物体之间的相对位置向量。

同样的运动常数可以有很多种不同的表述．最常见的一种牵涉到离心率向量。定义离心率向量${\displaystyle \mathbf{e}}$为LRL向量与${\displaystyle mk}$的除商：

开普勒问题的运动轨道，其形状与取向，可以用LRL向量决定。${\displaystyle \mathbf{A}}$与${\displaystyle \mathbf{r}}$的内积为

其中，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$为${\displaystyle \mathbf{A}}$与${\displaystyle \mathbf{r}}$之间的夹角。

置换其三重积，

所以，

编排成圆锥曲线的方程形式：

离心率${\displaystyle e}$为

开普勒轨道与能量的关系可以由LRL向量推导出。${\displaystyle \mathbf{A}}$与自己的内积为

所以，

稍微编排，离心率的平方${\displaystyle e^2}$是能量${\displaystyle E}$的函数：

假若能量${\displaystyle E}$是负值的（束缚轨道），则离心率小于1，这轨道是椭圆形轨道。相反地，假若能量是正值的（非束缚轨道，又称为散射轨道）则离心率大于1，这轨道是双曲线轨道。最后，假若能量等于零，则离心率等于1，这轨道是抛物线轨道。对于所有状况，LRL向量与圆锥曲线的对称轴平行，而且从力中心点指向近拱点。

假设一个粒子在做轨道运动。其速度向量的物理行为可以用速端曲线显示出来，而动量是速度乘以质量。所以，速端曲线也可以显示出动量的物理行为。在平方反比有心力作用下，速端曲线（图3）显示出，粒子的动量向量的头部呈圆形移动；这事实可以用LRL向量${\displaystyle \mathbf{A}}$与角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$的保守性来证明。计算${\displaystyle \mathbf{L}}$与${\displaystyle \mathbf{A}}$的叉积：

设定xyz参考系的圆点在力中心点，${\displaystyle \mathbf{L}}$与z-轴同方向，x-轴与半长轴同轴。则

换句话说，动量${\displaystyle \mathbf{p}}$的头部被限制于一个圆圈；圆圈的半径为${\displaystyle mk/L}$，圆心为${\displaystyle (0,A/L)}$。如图3所示，圆形的动量速端曲线毫无疑问地显示出开普勒问题的对称性。

夹角${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$的一边是点2与圆心的连线，另一边是负p_y-轴。很显然地，离心率等于${\displaystyle \cos <!--\; \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$。为了简化运算，在这里提出一个很有用的变量${\displaystyle p_0=\sqrt{2m\left|E\right|}}$。

在开普勒问题里，两个向量${\displaystyle \mathbf{A}}$，${\displaystyle \mathbf{L}}$与一个标量${\displaystyle E}$加起来一共有七个常数标量。它们之间的相关性表达于${\displaystyle \mathbf{A}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{L}=0}$与${\displaystyle A^2=m^2{k}^2+2mE{L}^2}$这两个公式。因为${\displaystyle \mathbf{A}}$的大小可以由角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$与能量${\displaystyle E}$计算出来。再者，${\displaystyle \mathbf{A}}$必须垂直于${\displaystyle \mathbf{L}}$。所以，${\displaystyle \mathbf{A}}$只能贡献1个运动常数。

由于有上述两个关系公式，这物理系统一共有五个独立的运动常数。这结果与设定粒子轨道所需的六个初始条件（粒子的初始位置向量与初始速度向量，每一个向量有三个分量）相符合，原因是运动常数不涉及初始时间（视六个初始条件函数的参数为自变量初始时间。用其中的一个初始条件函数除去这自变量；将此初始条件函数当作一个自变量，则剰余五个初始条件函数，函数的参数为新自变量）。

因为运动方程是二阶微分方程，一个拥有${\displaystyle d}$ 自由度的物理系统，需要${\displaystyle 2d}$个初始条件来设定解答。由于运动常数不涉及初始时间，这物理系统最多只能拥有${\displaystyle 2d-<!--\; -\; -->1}$个运动常数。一个拥有超过${\displaystyle d}$个运动常数的物理系统称为超级可积分系统；而一个拥有${\displaystyle 2d-<!--\; -\; -->1}$个运动常数的物理系统称为最大超级可积分系统。哈密顿-亚可比方程的解答，采用任意一种坐标系统，最多只能求得${\displaystyle d}$个运动常数。

开普勒问题拥有三个自由度（${\displaystyle d=3}$）与五个运动常数；开普勒问题的系统是最大超级可积分系统；采用球坐标或抛物线坐标，哈密顿－亚可比方程都是可积分的；这论据，稍后会有详细的解释。最大超级可积分系统可以用对易关系来量子化，这论据，稍后也会又更明了的说明。

只有在一个标准的平方反比有心力下，粒子的LRL向量${\displaystyle \mathbf{A}}$是保守的。对于大多数的实际问题，例如行星运动，作用力并不会完全地遵守平方反比定律，而可能会含有别种摄动的有心力；称其负值不定积分为摄动势，标记为${\displaystyle h(r)}$。在这种状况下，LRL向量会缓慢地转动于轨道平面，相应于轨道的慢进动。假若摄动势${\displaystyle h(r)}$为一个保守的连心势，也就是说，总能量${\displaystyle E}$与角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$都是保守的，则粒子的运动仍旧包含于一个垂直于${\displaystyle \mathbf{L}}$的平面，大小${\displaystyle A}$仍旧是保守的。摄动势${\displaystyle h(r)}$可以是任何形式的函数。但是，摄动值应该显著地弱于主连心势。一个典形的摄动势可以表示为

其中，${\displaystyle h}$是摄动势强度，整数${\displaystyle n\le <!--\; \le \; -->2}$。

用正则摄动理论与作用量-角度坐标，可以直接地推导出LRL向量的转动率是

其中，${\displaystyle T}$是轨道周期，恒等式${\displaystyle Ldt=m{r}^2\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$转变时间积分为角积分（如图5）。角括号表达式${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->h(r)⟩<!--\; ⟩\; -->}$是周期平均摄动势；也就是说，物体绕轨道一个公转的平均摄动势。取平均值可以减少转动率的变动。

这方法曾经被用来证实爱因斯坦的广义相对论。广义相对论在常见的牛顿万有引力项目外，又添加了一项小的反立方摄动。

将此函数代入积分。再代入${\displaystyle r}$与${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的关系公式

就可以计算出这非牛顿摄动所产生的近拱点进动率:

计算出的答案准确地符合实验观测到的水星进动数据和双重脉冲星数据。这与实验数据一致的结果被认为是广义相对论的强证。

角动量${\displaystyle \mathbf{L}}$的三个分量${\displaystyle L_i}$的泊松括号是

其中，指标${\displaystyle i,j=1,2,3}$