向量空间

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向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

给定域，上的向量空间是一个集合，其上定义了两种二元运算：

中的元素称为向量，相对地，中的元素称为标量。

而集合公理才构成一个向量空间（对中的任意元素、以及中的任意元素u、v、w都成立）：

前四个公理说明装备了向量加法的是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，向量空间是一个−模。

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

对一般域，记为-向量空间。若是实数域ℝ，则称为实数向量空间；若是复数域ℂ，则称为复数向量空间；若是有限域，则称为有限域向量空间。

最简单的-向量空间是自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当是实数域ℝ时，可以验证对任意实数、以及任意实数u、v、w，都有：

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点${\displaystyle P}$。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基${\displaystyle \mathbf{B}=\left\{e_1,e_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,e_n\right\}}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

那么v可以用数组${\displaystyle v=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)}$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

可以证明，存在从任意一个n维的${\displaystyle \mathbf{F}}$-向量空间到空间${\displaystyle {\mathbf{F}}^n}$的双射。这种关系称为同构。

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

所有线性变换的集合记为${\displaystyle \mathcal{L}(V,W)}$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，${\displaystyle \mathcal{L}(V,W)}$中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构${\displaystyle f:V\to <!--\; \to \; -->W}$，那么其逆映射${\displaystyle g:W\to <!--\; \to \; -->V}$也存在，并且对所有的${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->V,y\in <!--\; \in \; -->W}$，都有：

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：